Топология–1. Лекция 4

Продолжаем строить новые топологические пространства из уже известных (после произведения, дизъюнктного объединения и факторизации). Всюду $I = [0, 1]$ .

Конус, цилиндр и надстройка

Определение (Цилиндр, конус, надстройка). Пусть $X$ — топологическое пространство.

Цилиндр: $X \times I$ .
Конус: $C X = (X \times I) / (X \times {1})$ — верхнее основание стянуто в точку:

$(x, 1) \sim (x^{'}, 1) для всех x, x^{'} \in X .$
Надстройка: $Σ X = (X \times [- 1, 1]) / \sim$ , где в точку стягиваются и верхнее, и нижнее основания:

$(x, 1) \sim (x^{'}, 1), (x, - 1) \sim (x^{'}, - 1) для всех x, x^{'} .$

TikZ diagram — Цилиндр, конус (стянуто одно основание) и надстройка (стянуты оба основания).

Замечание. Надстройку можно описать как два конуса, склеенных по общему основанию. Буква $Σ$ — от английского suspension (надстройка).

Пример. Все равенства — с точностью до гомеоморфизма (задачи из листка).

$C (D^{n}) ≅ D^{n + 1}$ и $C (S^{n}) ≅ D^{n + 1}$ (конус над сферой — диск: соединяем все точки сферы с центром).
$Σ S^{0} = S^{1}$ (надстройка над двумя точками — «ромбик», то есть окружность), и в общем случае $Σ S^{n} = S^{n + 1}$ .

Джойн

Определение (Джойн). Джойном пространств $X$ и $Y$ называется

X * Y = (X \times [- 1, 1] \times Y) / \sim,

где

(x, 1, y) \sim (x^{'}, 1, y) для всех x, x^{'}, (x, - 1, y) \sim (x, - 1, y^{'}) для всех y, y^{'} .

То есть при $t = 1$ стягивается направление $X$ (остаётся копия $Y$ ), а при $t = - 1$ — направление $Y$ (остаётся копия $X$ ).

Пример. Джойн двух отрезков — тетраэдр, то есть (с точностью до гомеоморфизма) трёхмерный диск $D^{3}$ . Это единственный нетривиальный случай джойна, который удаётся нарисовать на доске.

Пространства с отмеченной точкой

Определение (Пространство с отмеченной точкой). Это пара $(X, x_{0})$ , где $x_{0} \in X$ — отмеченная точка. Морфизм $(X, x_{0}) \to (Y, y_{0})$ — непрерывное отображение $φ$ с $φ (x_{0}) = y_{0}$ .

В этой категории определяются те же операции:

Произведение: $(X, x_{0}) \times (Y, y_{0}) = (X \times Y, (x_{0}, y_{0}))$ .
Букет (отмеченное дизъюнктное объединение): $X \lor Y = (X ⊔ Y) / (x_{0} \sim y_{0})$ с отмеченной точкой $x_{0} = y_{0}$ .
Конус, надстройка, джойн — как выше, с дополнительным стягиванием образующей ${x_{0}} \times I$ в новую отмеченную точку.

Клеточные комплексы (CW-комплексы)

Это центральное определение лекции — описание «хорошего» класса пространств, склеенных из клеток.

Определение (CW-комплекс). Хаусдорфово пространство $X$ называется клеточным комплексом (CW-комплексом), если заданы:

разбиение в дизъюнктное объединение открытых клеток

$X = q \geq 0 ⨆ α ⨆ e_{α}^{q},$

где $e_{α}^{q}$ — клетка размерности $q$ ;
для каждой клетки характеристическое отображение $Φ_{α}^{q} : D^{q} \to X$ из замкнутого $q$ -мерного диска, ограничение которого на внутренность $Int D^{q}$ есть гомеоморфизм на $e_{α}^{q}$ .

Замкнутой клеткой называется $\overline{e_{α}^{q}}$ . Сверх того требуются два условия:

(C) замыкание-конечность (closure-finite): для каждой клетки $\overline{e_{α}^{q}} ∖ e_{α}^{q}$ содержится в объединении конечного числа клеток размерности $< q$ ;
(W) слабая топология (weak topology): $Y \subset X$ замкнуто $⟺$ $Y \cap \overline{e_{α}^{q}}$ замкнуто для каждой замкнутой клетки.

Аббревиатура CW — от Closure-finite Weak topology.

Неформально: CW-комплекс склеен из клеток (открытых дисков разных размерностей), подклеиваемых друг к другу по хорошим правилам.

Пример.

Дискретное пространство: только $0$ -клетки (точки); $D^{0}$ — одна точка, условия (C) и (W) выполнены тривиально.
Окружность $S^{1}$ : одна $0$ -клетка $e^{0}$ и одна $1$ -клетка $e^{1}$ (отрезок, концы которого приклеены к точке).
Граф: вершины — $0$ -клетки, рёбра — $1$ -клетки; условием (W) можно даже задать топологию на графе.
Сфера $S^{n}$ : одна $0$ -клетка (полюс) и одна $n$ -клетка ( $D^{n}$ , склеенная по границе $S^{n - 1}$ в точку) — всего две клетки.
Тор $T^{2}$ : одна $0$ -клетка, две $1$ -клетки ( $a$ , $b$ ), одна $2$ -клетка. Для $n$ -мерного тора $(S^{1})^{n}$ число $k$ -клеток равно $(k n)$ : тор есть $n$ -я степень окружности, у которой по одной клетке размерностей $0$ и $1$ , а при перемножении $n$ сомножителей клетки размерности $k$ возникают как произведения $k$ «единичек» и $n - k$ «точек» — отсюда биномиальные коэффициенты (как при раскрытии $(1 + t)^{n}$ ).

Замечание (разные структуры на). На одном пространстве бывают разные CW-структуры. Кроме экономной структуры из двух клеток, на $S^{n}$ есть регулярная структура с двумя клетками в каждой размерности от $0$ до $n$ . Её удобно строить по индукции: $S^{n}$ получается из экватора $S^{n - 1}$ приклеиванием двух $n$ -мерных дисков (верхней и нижней полусфер). На $S^{0}$ (две точки) база индукции очевидна, а шаг добавляет пару клеток нужной размерности. Именно эта структура согласована с факторотображением $S^{n} \to RP^{n}$ (см. ниже).

Утверждение. Замкнутая клетка совпадает с образом характеристического отображения: $\overline{e_{α}^{q}} = Φ_{α}^{q} (D^{q})$ .

Доказательство. Диск $D^{q}$ компактен, поэтому его образ $Φ_{α}^{q} (D^{q})$ компактен; в хаусдорфовом $X$ компакт замкнут. Значит, $Φ_{α}^{q} (D^{q})$ — замкнутое множество, содержащее $e_{α}^{q}$ , поэтому $\overline{e_{α}^{q}} \subset Φ_{α}^{q} (D^{q})$ .

Обратно, пусть $Z \subset X$ замкнуто и $e_{α}^{q} \subset Z$ . Тогда $Φ^{- 1} (Z)$ замкнуто в $D^{q}$ (непрерывность) и содержит открытый диск $Int D^{q}$ . Но замкнутое множество, содержащее открытый диск, содержит и весь $D^{q}$ (точки границы лежат в замыкании внутренности). Значит, $Φ (D^{q}) \subset Z$ . Тем самым $Φ (D^{q})$ содержится в любом замкнутом множестве, содержащем клетку, и при этом само замкнуто — то есть равно $\overline{e_{α}^{q}}$ .

CW-структура на $RP^{n}$

Напомним: $RP^{n}$ — наборы $[a_{0} : \dots : a_{n}]$ (не все нули) с точностью до умножения на ненулевой скаляр. Аффинная карта

U_{i} = {[a_{0} : \dots : a_{n}] ∣ a_{i} \neq = 0} ≅ R^{n}

(делим на $a_{i}$ — координата на месте $i$ становится $1$ , остальные определены однозначно). Зафиксируем $U_{0}$ ; тогда

RP^{n} ∖ U_{0} = {a_{0} = 0} ≅ RP^{n - 1},

поэтому

RP^{n} = R^{n} ⊔ RP^{n - 1} = R^{n} ⊔ R^{n - 1} ⊔ \dots ⊔ R^{0} .

Каждое $R^{k}$ гомеоморфно открытому $k$ -мерному диску, поэтому это разложение задаёт CW-структуру на $RP^{n}$ — ровно по одной клетке в каждой размерности от $0$ до $n$ .

Определение (Клеточное отображение и остов). $k$ -мерный остов (скелет) CW-комплекса $X$ — это $X^{k} = ⋃_{q \leq k} (клетки размерности \leq k)$ ; каждый $X^{k}$ сам является CW-комплексом, и $X = ⋃_{k} X^{k}$ . Отображение CW-комплексов $φ : X \to Y$ называется клеточным, если оно непрерывно и $φ (X^{k}) \subset Y^{k}$ при всех $k$ .

Чтобы задать клеточную структуру на $RP^{n}$ «дёшево», возьмём на $S^{n}$ структуру с двумя клетками в каждой размерности (северная и южная «половины» на каждом уровне) и факторотображение $φ : S^{n} \to RP^{n}$ ( $x \sim - x$ ). Оно склеивает две клетки каждой размерности в одну, давая по одной клетке каждой размерности на $RP^{n}$ ; характеристические отображения — композиции с $φ$ . Условие (C) очевидно, (W) следует из определения фактортопологии, и $φ$ оказывается клеточным.

Конечные и бесконечные комплексы

Определение (Конечный CW-комплекс). CW-комплекс называется конечным, если состоит из конечного числа клеток, и бесконечным в противном случае. (Конечность — свойство структуры, а не пространства: на одном пространстве бывают разные CW-структуры.)

Замечание. Произведение конечных CW-комплексов снова является (конечным) CW-комплексом: клетки — произведения $e_{α}^{q} \times e_{β}^{p}$ (размерности $q + p$ ), характеристические отображения — произведения. Для бесконечных комплексов это, вообще говоря, неверно: топология произведения может не совпасть со слабой топологией (контрпример — у Хатчера, «Алгебраическая топология»); нарушается условие (W).

Пример (решётка на). На $R^{1}$ : целые точки — $0$ -клетки, интервалы между ними — $1$ -клетки. (Заметим: сама прямая гомеоморфна открытому интервалу, но характеристическое отображение идёт из замкнутого интервала, поэтому одной клеткой не обойтись.) Тогда $R^{n} = (R^{1})^{n}$ получает структуру конечно-клеточного в каждом узле комплекса — решётку: узлы $0$ -клетки, рёбра $1$ -клетки, квадраты $2$ -клетки и т. д.

Из вложений $R^{0} \subset R^{1} \subset R^{2} \subset \dots$ (все клеточные) объединение

R^{\infty} = n ⋃ R^{n}

получает структуру бесконечномерного CW-комплекса (топология задаётся условием (W); каждая точка лежит в каком-то конечном $R^{n}$ — то есть это финитные последовательности). Аналогично определяются $S^{\infty}$ и $RP^{\infty}$ , причём $S^{\infty} \to RP^{\infty}$ — клеточное отображение.

Определение (Регулярный CW-комплекс). CW-комплекс называется регулярным, если все характеристические отображения — гомеоморфизмы на образ уже на замкнутом диске $D^{q}$ (а не только на внутренности).

Пример. Структура на $S^{n}$ с двумя клетками ( $n > 0$ ) не регулярна: вся граница $n$ -клетки стягивается в точку, поэтому на $D^{n}$ это не гомеоморфизм. А структура с двумя клетками в каждой размерности уже регулярна. Регулярные структуры удобнее, но менее экономны.

Симплициальные комплексы

Определение (Симплекс). $n$ -мерный симплекс — это

Δ^{n} = {x \in R^{n} ∣ x_{i} \geq 0, \sum_{i} x_{i} \leq 1} .

$Δ^{0}$ — точка, $Δ^{1}$ — отрезок, $Δ^{2}$ — треугольник, $Δ^{3}$ — тетраэдр. Симплекс гомеоморфен диску $D^{n}$ . Грань симплекса (пересечение с координатной гиперплоскостью) сама является симплексом.

Определение (Симплициальный комплекс). Регулярный CW-комплекс $X$ называется симплициальным комплексом, если каждое характеристическое отображение отождествляет клетку с симплексом и при этом:

ограничение характеристического отображения на любую грань симплекса снова даёт симплекс (замкнутую клетку) в $X$ ;
пересечение любых двух симплексов $X$ — снова симплекс (либо пусто).

Неформально: симплициальный комплекс склеен из симплексов так, что любые два из них пересекаются по целой общей грани, по вершине или не пересекаются вовсе. Задание такой структуры называется триангуляцией.

Пример (триангуляция тора). Наивные попытки не проходят:

Разрезать квадрат-тор одной диагональю нельзя: все четыре угла склеены в одну вершину, поэтому у «треугольника» вершины слиплись бы — характеристическое отображение перестаёт быть гомеоморфизмом.
«Британский флаг» (диагонали + средние линии) нарушает условие 2: некоторые два треугольника пересекаются по двум точкам, а не по целой грани.

Нужно более мелкое разбиение. Упражнение: найти минимальную триангуляцию тора (с наименьшим числом треугольников) — вопрос тонкий; для многих пространств точный ответ неизвестен.

В следующий раз продолжим изучение клеточных и симплициальных комплексов.