Топология–1. Лекция 3

Замыкание

Замыкание было введено в листке. Напомним определение.

Определение (Замыкание). Пусть $X$ — топологическое пространство и $A \subset X$ . Замыканием $\overline{A}$ называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $A$ :

\overline{A} = A \subset V V замкнуто ⋂ V .

Свойства замыкания. Пусть $A, B \subset X$ .

$\overline{A}$ замкнуто (пересечение замкнутых).
$A \subset \overline{A}$ .
$\overline{\overline{A}} = \overline{A}$ .
Если $A$ замкнуто, то $\overline{A} = A$ (откуда сразу следует свойство 3).
$A \subset B \Rightarrow \overline{A} \subset \overline{B}$ .
$\overline{A}$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$ (то есть оно содержится в любом замкнутом множестве, содержащем $A$ ).

Доказательство. Докажем свойство 6. По определению $\overline{A}$ — пересечение всех замкнутых $V \supset A$ , поэтому $\overline{A} \subset V$ для каждого такого $V$ ; значит, $\overline{A}$ содержится в любом замкнутом множестве, содержащем $A$ . С другой стороны, $\overline{A}$ само замкнуто и содержит $A$ , поэтому оно и есть наименьшее такое множество.

В терминах замыкания удобно характеризовать непрерывность.

Утверждение. Отображение $f : X \to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого $A \subset X$

f (\overline{A}) \subset \overline{f (A)} .

Доказательство. ( $\Rightarrow$ ) Пусть $f$ непрерывно, то есть прообраз замкнутого замкнут. Обозначим $V = \overline{f (A)}$ — замкнутое множество. Тогда $f^{- 1} (V)$ замкнуто и содержит $A$ (ведь $f (A) \subset V$ ). По свойству 6 $\overline{A} \subset f^{- 1} (V)$ , то есть $f (\overline{A}) \subset V = \overline{f (A)}$ .

( $\Leftarrow$ ) Пусть условие выполнено. Возьмём замкнутое $V \subset Y$ и положим $A = f^{- 1} (V)$ . Тогда $f (A) \subset V$ , поэтому

f (\overline{A}) \subset \overline{f (A)} \subset \overline{V} = V,

откуда $\overline{A} \subset f^{- 1} (V) = A$ . Значит, $\overline{A} = A$ , то есть $A = f^{- 1} (V)$ замкнуто. Следовательно, $f$ непрерывно.

Внутренность

Определение (Внутренность). Внутренностью $A^{\circ}$ множества $A \subset X$ называется объединение всех открытых множеств, содержащихся в $A$ ; равносильно — множество точек, обладающих открытой окрестностью, целиком лежащей в $A$ :

A^{\circ} = U \subset A U открыто ⋃ U .

Свойства внутренности (двойственны свойствам замыкания).

$A^{\circ}$ открыто.
Если $A$ открыто, то $A^{\circ} = A$ .
$(A^{\circ})^{\circ} = A^{\circ}$ .
$A \subset B \Rightarrow A^{\circ} \subset B^{\circ}$ .
$A^{\circ}$ — наибольшее открытое множество, содержащееся в $A$ .

Утверждение (двойственность). Для $A \subset X$

\overline{X ∖ A} = X ∖ A^{\circ} .

Доказательство. По определению $\overline{X ∖ A}$ — пересечение замкнутых $V \supset X ∖ A$ . Дополнения $U = X ∖ V$ — это в точности открытые множества, содержащиеся в $A$ . Поэтому

\overline{X ∖ A} = X ∖ A \subset V V замкн . ⋂ V = X ∖ U \subset A U откр . ⋃ U = X ∖ A^{\circ} .

TikZ diagram — Множество $A$ : внутренность $A^{\circ}$ (открытое «ядро», пунктир), замыкание $\overline{A}$ (вместе с границей) и граница $\partial A = \overline{A} ∖ A^{\circ}$ (кольцо между пунктиром и сплошной линией).

Граница

Определение (Граница). Границей множества $A \subset X$ называется $\partial A = \overline{A} ∖ A^{\circ}$ .

Утверждение. $\partial A = \overline{A} \cap \overline{X ∖ A}$ , и, как следствие, $\partial A = \partial (X ∖ A)$ .

Доказательство. Используем теоретико-множественный факт: для $C \subset D \subset X$ верно $D ∖ C = D \cap (X ∖ C)$ . Применяя его к $C = A^{\circ} \subset D = \overline{A}$ и пользуясь двойственностью $X ∖ A^{\circ} = \overline{X ∖ A}$ , получаем

\partial A = \overline{A} ∖ A^{\circ} = \overline{A} \cap (X ∖ A^{\circ}) = \overline{A} \cap \overline{X ∖ A} .

Полученное выражение симметрично относительно замены $A \leftrightarrow X ∖ A$ , поэтому $\partial A = \partial (X ∖ A)$ .

Факторпространства: примеры склеек

Замечание (Напоминание). Для топологического пространства $X$ с отношением эквивалентности $\sim$ факторпространство $X / \sim$ — это множество классов эквивалентности с топологией, в которой $U$ открыто $⟺$ $φ^{- 1} (U)$ открыто (где $φ : X \to X / \sim$ , $φ (x) = [x]$ ). Это самая тонкая топология, при которой $φ$ непрерывно.

Все следующие примеры получаются факторизацией квадрата $I^{2} = [0, 1] \times [0, 1]$ по отождествлению рёбер. На рисунках стрелки указывают, какие рёбра склеиваются и в каком направлении (одинаковая раскраска — пара склеиваемых рёбер).

Пример (лента Мёбиуса и цилиндр). Склеиваем только одну пару противоположных рёбер:

Цилиндр: $(x, 0) \sim (x, 1)$ (без переворота).
Лента Мёбиуса: $(x, 0) \sim (1 - x, 1)$ (с переворотом).

Пример (тор, бутылка Клейна, проективная плоскость). Склеиваем обе пары противоположных рёбер:

Тор $T^{2}$ : $(x, 0) \sim (x, 1)$ и $(0, y) \sim (1, y)$ — обе пары без переворота. Это $S^{1} \times S^{1}$ (вкладывается в $R^{3}$ и $R^{4}$ ).
Бутылка Клейна: $(x, 0) \sim (1 - x, 1)$ и $(0, y) \sim (1, y)$ — одна пара с переворотом. Вкладывается в $R^{4}$ (в $R^{3}$ только с самопересечением).
Проективная плоскость $RP^{2}$ : $(x, 0) \sim (1 - x, 1)$ и $(0, y) \sim (1, 1 - y)$ — обе пары с переворотом.

Замечание. Стягивая всю границу квадрата в одну точку ( $\partial I^{2}$ в точку), получаем сферу $S^{2}$ . Можно показать (упражнение), что при любой попарной склейке рёбер квадрата получается одно из пространств: цилиндр/лента Мёбиуса (одна пара) либо тор, бутылка Клейна или $RP^{2}$ (обе пары).

Проективные пространства

Проективное пространство $RP^{n}$ допускает несколько эквивалентных определений ( $R$ — поле, $P$ — «проективное», $n$ — размерность). Эквивалентность определений — задача из листка.

Определение (Пять описаний).

Склейка квадрата/куба (для $n = 2$ — как в примере выше).
Фактор сферы: $RP^{n} = S^{n} / (x \sim - x)$ — отождествление противоположных (антиподальных) точек сферы $S^{n} \subset R^{n + 1}$ .
Прямые через начало координат: множество одномерных подпространств (прямых через $0$ ) в $R^{n + 1}$ .
Полусфера: $RP^{n} = T / (x \sim - x на границе)$ , где $T = S_{+}^{n}$ — верхняя полусфера ( $x_{n + 1} \geq 0$ ), $T ≅ D^{n}$ , а её граница $H \cap S^{n} = S^{n - 1}$ .
Однородные координаты: наборы $[a_{1} : \dots : a_{n + 1}]$ , $a_{i} \in R$ , не все нули, с точностью до умножения на ненулевой скаляр: $[a] = [λa]$ , $λ \neq = 0$ .

Пример. $RP^{1} ≅ S^{1}$ . По определению нужно взять окружность $S^{1}$ и отождествить антиподальные точки. Рассмотрим полуокружность (с одним включённым концом): каждый класс эквивалентности пересекает её ровно по одной точке. Спроецировав полуокружность на полуинтервал, получаем отображение в отрезок с отождествлёнными концами — то есть снова окружность.

Замечание. Биекция между «прямыми через $0$ » (описание 3) и фактором сферы (описание 2) естественна: каждая прямая через начало координат протыкает сферу ровно в двух антиподальных точках $x$ и $- x$ . Чтобы превратить биекцию в гомеоморфизм, на множестве прямых вводят топологию через базу: прямые, «достаточно близкие» к данной (лежащие в узком конусе). Это упражнение.

Полусферическое описание $RP^{n}$

Поясним описание 4 и его связь с фактором сферы. Рассмотрим верхнюю полусферу

T = S_{+}^{n} = {x \in S^{n} ∣ x_{n + 1} \geq 0},

её граница — пересечение с гиперплоскостью $H = {x_{n + 1} = 0}$ :

H \cap S^{n} = S^{n - 1} .

Композиция вложения $T ↪ S^{n}$ и факторизации $S^{n} \to RP^{n}$ даёт отображение $φ : T \to RP^{n}$ .

Вне границы $φ$ биективно: если $x \in T$ не лежит на $H$ , то его антипод $- x$ лежит в нижней полусфере, поэтому класс ${x, - x}$ пересекает $T$ ровно по одной точке.
На границе $S^{n - 1}$ обе антиподальные точки $x$ и $- x$ лежат на экваторе, то есть в $T$ , и потому отождествляются.

Значит,

RP^{n} = T / (x \sim - x, x \in S^{n - 1}) .

Спроецировав полусферу на экваториальную плоскость, получаем $T ≅ D^{n}$ (а в листке: $D^{n} ≅ I^{n}$ ). Поэтому $RP^{n}$ — это диск $D^{n}$ с отождествлёнными антиподальными точками границы. При $n = 2$ диск гомеоморфен квадрату, а антиподальное отождествление границы — в точности то правило склейки рёбер, что в примере с $RP^{2}$ выше; так оба описания согласуются.

Замечание (Комплексный случай). Аналогично определяется комплексное проективное пространство $CP^{n}$ — наборы однородных координат $[a_{1} : \dots : a_{n + 1}]$ с $a_{i} \in C$ (не все нули) с точностью до умножения на $λ \in C ∖ {0}$ ; равносильно — комплексные прямые в $C^{n + 1}$ . Как фактор сферы:

CP^{n} = S^{2 n + 1} / (z \sim λ z, ∣ λ ∣ = 1),

где $S^{2 n + 1} \subset C^{n + 1} = R^{2 n + 2}$ , а множители $λ = e^{i φ}$ пробегают комплексные числа единичного модуля.

Метрические пространства

Определение (Метрика). Пусть $X$ — множество. Метрикой на $X$ называется функция $d : X \times X \to R$ , для которой при всех $x, y, z$ :

$d (x, y) \geq 0$ ;
$d (x, y) = d (y, x)$ (симметричность);
$d (x, y) = 0 ⟺ x = y$ ;
$d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ (неравенство треугольника).

Пара $(X, d)$ называется метрическим пространством.

Пример.

Дискретная метрика на любом множестве: $d (x, y) = 0$ при $x = y$ и $d (x, y) = 1$ при $x \neq = y$ (аксиома 4 проверяется перебором).
Евклидова метрика на $R^{n}$ : $d (x, y) = \sum_{i} (x_{i} - y_{i})^{2}$ . Бывают и другие метрики (манхэттенская, и т. д.).

Метрика задаёт топологию.

Утверждение. Открытые шары $B (x, r) = {y \in X ∣ d (x, y) < r}$ ( $r > 0$ ) образуют базу топологии на $X$ .

Доказательство. Проверим два условия критерия базы. Покрытие: $x \in B (x, r)$ для любого $r > 0$ , так как $d (x, x) = 0$ . Условие пересечения: пусть $z \in B (x, r_{1}) \cap B (y, r_{2})$ . Положим

ε = min (r_{1} - d (x, z), r_{2} - d (y, z)) > 0.

Тогда для любого $w \in B (z, ε)$ по неравенству треугольника

d (x, w) \leq d (x, z) + d (z, w) < d (x, z) + (r_{1} - d (x, z)) = r_{1},

и аналогично $d (y, w) < r_{2}$ . Значит, $B (z, ε) \subset B (x, r_{1}) \cap B (y, r_{2})$ .

Замечание. Топология на $R^{n}$ , полученная как топология произведения, совпадает с топологией, индуцированной евклидовой метрикой: у них одна и та же база открытых шаров (это уже фактически доказано через задачу из листка). Кроме того, для $A \subset X$ топология, индуцированная ограничением метрики на $A$ , совпадает с подпространственной топологией: элемент базы на $A$ — это шар $B (x, r) \cap A$ .

Определение (Изометрия). Метрические пространства $(X, d_{X})$ и $(Y, d_{Y})$ изометричны, если существует биекция $φ : X \to Y$ , сохраняющая расстояние: $d_{Y} (φ (a), φ (b)) = d_{X} (a, b)$ .

Замечание. Изометрия влечёт гомеоморфизм (открытые шары переходят в открытые шары, то есть индуцируется биекция баз). Обратное неверно: $φ : R \to R$ , $φ (x) = 2 x$ (со стандартной метрикой) — гомеоморфизм, но не изометрия, так как расстояния меняются.

Наконец, для метрических пространств непрерывность выражается на языке $ε$ – $δ$ .

Утверждение. Отображение метрических пространств $f : X \to Y$ непрерывно (в индуцированных топологиях) тогда и только тогда, когда

\forall x \in X \forall ε > 0 \exists δ > 0 : f (B (x, δ)) \subset B (f (x), ε) .

Доказательство. ( $\Rightarrow$ ) Пусть $f$ непрерывно, $x \in X$ , $ε > 0$ . Шар $U = B (f (x), ε)$ открыт, поэтому $f^{- 1} (U)$ открыто и содержит $x$ . Значит, найдётся $δ > 0$ с $B (x, δ) \subset f^{- 1} (U)$ , то есть $f (B (x, δ)) \subset B (f (x), ε)$ .

( $\Leftarrow$ ) Пусть выполнено $ε$ – $δ$ -условие и $U \subset Y$ открыто. Для любой точки $x \in f^{- 1} (U)$ точка $f (x) \in U$ имеет шар $B (f (x), ε) \subset U$ ; по условию найдётся $δ > 0$ с $f (B (x, δ)) \subset B (f (x), ε) \subset U$ , то есть $B (x, δ) \subset f^{- 1} (U)$ . Значит, $f^{- 1} (U)$ — объединение открытых шаров, то есть открыто, и $f$ непрерывно.

В следующий раз продолжим изучение метрических и топологических пространств.