Lectures on Algebra

Порядок элемента и порядок группы, порядок подстановки как НОК длин циклов; порождающие и циклические группы; гомоморфизмы и изоморфизмы групп, классификация циклических групп; примеры — знак подстановки, обращение в абелевой группе, экспонента, определитель, $S_3$ и $D_3$; подгруппы, ядро и образ, критерий инъективности; левые и правые классы смежности, их разбиение; нормальные подгруппы и сопряжение, индекс, теорема Лагранжа, подгруппы индекса 2; факторгруппа; теорема о гомоморфизме с примерами; сопряжённые элементы, центр, действие группы на множестве.

Что изучает алгебра — алгебраические структуры. Группы (определение, примеры, аддитивная запись, единственность нейтрального и обратного), кольца (варианты аксиоматики, кольца с единицей и без), поля и тела, векторные пространства и модули, алгебры над полем. Симметрическая группа $S_n$ — подстановки, некоммутативность, табличная запись, циклы и транспозиции, разложение в произведение транспозиций, независимые подстановки коммутируют, разложение в произведение независимых циклов и его единственность, возведение в степень, инверсии, чётность и знак подстановки, умножение на транспозицию меняет знак.