Теория вероятностей, Листок 1

Задача 1. Случайным образом раскладывают 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 белых, по двум коробкам. Величина $X$ - число красных шаров в первой коробке, а $Y$ число шаров (всех цветов) во второй коробке. Найдите совместное распределение этих величин. Вычислите $E (X ∣ Y = 3)$ . Найдите случайные величины $E (X ∣ Y)$ и $P (X = 2 ∣ Y)$ .

Задача 2. Пусть $ξ$ - случайная величина. Найдите $E (sin (2 ξ) ∣ tg ξ)$ . Возможно ли найти в общем случае условное математическое ожидание $E (sin (ξ) ∣ tg ξ)$ ?

Задача 3. Пусть величины $ξ$ и $η$ независимы и имеют конечное математическое ожидание. Докажите, что

E (ξ ∣ ξ + η) = E (η ∣ ξ + η) = \frac{ξ + η}{2}

Задача 4. Пусть ${ξ_{n}}$ - независимые и одинаково распределенные случайные величины, причем $E ∣ ξ_{1} ∣ < \infty$ . Положим $S_{n} = ξ_{1} + \dots + ξ_{n}$ . Докажите, что

E (ξ_{1} ∣ S_{n}, S_{n + 1}, \dots) = \frac{S _{n}}{n} .

Задача 5. Пусть распределения векторов $(ξ, η)$ и $(ζ, η)$ совпадают. Докажите, что для всякой ограниченной борелевской функции $f$ выполнено $E (f (ξ) ∣ η) = E (f (ζ) ∣ η)$ почти наверное.

Задача 6. Случайные величины $ξ_{1}, \dots, ξ_{n}, \dots$ независимы и имеют распределение Пуассона с параметром $λ$ . Пусть $S_{n} = ξ_{1} + \dots + ξ_{n}$ . Найдите: (a) $P (S_{n} = k ∣ S_{m} = l)$ , (b) $E (S_{n} ∣ S_{m})$ .

Задача 7. Пусть величины $ξ$ и $η$ независимы и имеют показательное распределение с параметром $λ$ . Найдите: (a) совместную плотность $ξ$ и $ξ + η$ , (b) условную плотность $ξ$ относительно $ξ + η$ , (c) $P (ξ \leq a ∣ ξ + η = x)$ , (d) $E (ξ ∣ ξ + η = x)$ и $E (ξ ∣ ξ + η)$ .

Задача 8. Случайные величины $ξ$ и $η$ независимы и равномерно распределены на $[0, 1]$ . Пусть $X = min {ξ, η}$ и $Y = max {ξ, η}$ . Найдите плотность совместного распределения $X$ и $Y$ . Найдите $E (X ∣ Y)$ и $E (sin (X Y) ∣ Y)$ .

Задача 9. Случайный вектор $(ξ, η)$ имеет нормальное распределение, причем $ξ$ и $η$ распределены с параметрами $μ = 0$ и $σ = 2$ и $cov (ξ, η) = 1$ . Найдите условную плотность распределения $ξ$ относительно $η$ . Вычислите $E (ξ ∣ η = 2), P (1 < ξ < 2 ∣ η = 1)$ . Найдите случайные величины $E (ξ ∣ η)$ и $P (1 < ξ < 2 ∣ η)$ .

Задача 10. Пусть $ξ$ и $η$ независимы и нормально распределены с параметрами $μ_{1}, σ_{1}$ и $μ_{2}, σ_{2}$ . Найдите: (a) условное распределение $ξ + η$ при условии $ξ = a$ , (b) условное распределение $ξ$ при условии $ξ + η = b$ .

Задача 11. Пусть $A$ и $B$ сигма-алгебры в $F$ и $ξ$ случайная величина на ( $Ω, F, P$ ) с конечным математическим ожиданием. Предположим, что $σ (σ (ξ), A)$ и $B$ независимы. Докажите, что $E (ξ ∣ σ (A, B)) = E (ξ ∣ A)$ почти наверное.

Задача 12. Предположим, что для всякой случайной величины $ξ$ на ( $Ω, F, P$ ) с конечным математическим ожиданием выполнено $E (ξ ∣ A) = E (ξ ∣ B)$ почти наверное. Верно ли равенство $A = B$ ? Докажите, что верно равенство $A_{P} = B_{P}$ , где сигма алгебры $A_{P}$ и $B_{P}$ получены пополнением относительно меры $P$ .

Задача 13. Предположим, что у величин $E (ξ ∣ B)$ и $ξ$ одинаковые распределения. Докажите, что $ξ$ имеет $B$ - измеримую версию.

Задача 14. Пусть $T : L^{2} (Ω, F, P) \to L^{2} (Ω, F, P)$ - такой линейный ограниченный оператор, что $∥ T ∥ = 1, T 1 = 1$ и $T (ξ T η) = T ξ T η$ для всякой ограниченной случайной величины $ξ$ . Докажите, что $T ξ = E (ξ ∣ B)$ для некоторой сигма-алгебры $B \subset F$ .

Задача 15. Докажите, что для замкнутого линейного подпространства $M \subset L^{2} (Ω, F, P)$ следующие условия равносильны: 1) $1 \in M, ξ, η \in M \Rightarrow max {ξ, η} \in M$ , и 2) для некоторой сигма-алгебры $B \subset F$ выполнено $M = {E (ξ ∣ B) : ξ \in L^{2} (Ω, F, P)}$ .