Линейный оператор

Определение. Отображение $φ : L \to L$ линейного пространства в себя называется линейным оператором, если для всех $x, y \in L$ и всех $λ \in R$ выполняются два условия:

аддитивность: $φ (x + y) = φ (x) + φ (y)$ ;
однородность: $φ (λ x) = λ φ (x)$ .

Вектор $φ (x)$ называют образом вектора $x$ , а $x$ — прообразом.

Замечание. Оба условия существенны. Само по себе «соответствие, сопоставляющее каждому вектору $x$ некоторый вектор $φ (x)$ » задаёт произвольное отображение; линейным его делают именно аддитивность и однородность. Их можно объединить в одно условие: $φ (λ x + μ y) = λ φ (x) + μ φ (y)$ .

Примеры: тождественный оператор $φ (x) = x$ ; нулевой оператор $φ (x) = 0$ ; растяжение $φ (x) = k x$ ; поворот плоскости вокруг начала координат.

Матрица линейного оператора

Пусть $L$ — $n$ -мерное пространство с базисом $e_{1}, \dots, e_{n}$ . Разложим образы базисных векторов по этому же базису:

φ (e_{j}) = a_{1 j} e_{1} + a_{2 j} e_{2} + \dots + a_{nj} e_{n}, j = 1, \dots, n .

Коэффициенты этих разложений, записанные по столбцам, образуют матрицу линейного оператора в данном базисе:

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} .

( $j$ -й столбец — координаты образа $φ (e_{j})$ .)

Если $x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ , то по линейности $φ (x) = \sum_{j} x_{j} φ (e_{j})$ ; приравнивая координаты, получаем, что в координатах оператор действует умножением на матрицу:

x_{1}^{'} ⋮ x_{n}^{'} = A x_{1} ⋮ x_{n}, где φ (x) = x_{1}^{'} e_{1} + \dots + x_{n}^{'} e_{n} .

Замечание. Верно и обратное: если в $L_{n}$ зафиксирован базис, то любая квадратная матрица порядка $n$ является матрицей некоторого линейного оператора. Оператор $φ$ невырожден $⟺ det A \neq = 0$ .

Пример

Пусть $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ — базис, и оператор задан образами:

φ (e_{1}) = e_{1} - e_{2} + e_{4}, φ (e_{2}) = e_{2} + 2 e_{3}, φ (e_{3}) = 2 e_{1} - e_{4}, φ (e_{4}) = - e_{1} - e_{2} .

Записывая координаты образов по столбцам, получаем матрицу

A = 1 - 1 01 0120 200 - 1 - 1 - 1 00 .

Проверим невырожденность, разложив по третьей строке $(0, 2, 0, 0)$ :

det A = 2 \cdot (- 1)^{3 + 2} 1 - 1 1 20 - 1 - 1 - 1 0 = 2 \cdot (- 1) \cdot (- 4) = 8 \neq = 0,

значит оператор $φ$ невырожден.

Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису

Теорема. Пусть $A$ и $B$ — матрицы одного и того же линейного оператора $φ$ в «старом» базисе $e_{1}, \dots, e_{n}$ и «новом» базисе $e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ , а $C$ — матрица перехода от старого базиса к новому. Тогда

B = C^{- 1} A C .

Доказательство. Координаты любого вектора в старом и новом базисах связаны равенством $x = C x^{'}$ . Пусть $y = φ (x)$ ; тогда в старом базисе $y = A x$ , в новом $y^{'} = B x^{'}$ , и так же $y = C y^{'}$ . Подставим $x = C x^{'}$ , $y = C y^{'}$ в $y = A x$ :

C y^{'} = A C x^{'} \cdot C^{- 1} слева y^{'} = C^{- 1} A C x^{'} .

Сравнивая с $y^{'} = B x^{'}$ , получаем $B = C^{- 1} A C$ .

Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса:

det B = det (C^{- 1} A C) = \frac{1}{det C} \cdot det A \cdot det C = det A .

(Матрицы $A$ и $B = C^{- 1} A C$ называются подобными.)

Дальше

Для линейного оператора важны инвариантные направления — векторы, которые он лишь растягивает. Это собственные векторы и собственные значения, к которым переходим в следующей статье.