Анализ-1. Лекция 3

Продолжаем разговор о рядах: аккуратное доказательство теоремы о произведении рядов, признак Дирихле и признак Лейбница, суммирование по Чезаро, безусловная сходимость и теорема Римана о перестановках. Сегодняшняя лекция будет полна всяческих предостережений — контрпримеров в анализе. В конце начнём говорить про непрерывные функции.

Ещё раз о произведении рядов

Напомним: свёрткой рядов $n = 0 \sum \infty a_{n}$ и $n = 0 \sum \infty b_{n}$ называется ряд $n = 0 \sum \infty c_{n}$ , где

c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k} .

В прошлый раз теорема о произведении рядов была доказана несколько скомканно; пройдёмся по доказательству ещё раз.

Теорема (О произведении рядов). Пусть ряд $\sum a_{n}$ сходится абсолютно к $A$ , а ряд $\sum b_{n}$ сходится (уже не обязательно абсолютно) к $B$ . Тогда ряд $\sum c_{n}$ сходится к $A B$ .

Доказательство. Возьмём большое $N$ и посмотрим на частичную сумму свёртки:

n \leq N \sum c_{n} = n \leq N \sum k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k} = k \leq N \sum a_{k} m \leq N - k \sum b_{m} .

Разобьём внешнюю сумму на две части — по $k \leq N$ и по $k > N$ .

Часть $k > N$ . Ряд $\sum b_{m}$ сходится, поэтому его частичные суммы равномерно ограничены: $\sum_{m \leq N - k} b_{m} = O (1)$ . Значит, вся эта часть есть

O (k > N \sum ∣ a_{k} ∣) = o (1) (N \to \infty),

поскольку хвост сходящегося ряда $\sum ∣ a_{k} ∣$ стремится к нулю.

Часть $k \leq N$ . Здесь $N - k \geq N - N \to \infty$ , поэтому внутренняя сумма равна $B + o (1)$ равномерно по таким $k$ . Получаем

k \leq N \sum a_{k} (B + o (1)) = B k \leq N \sum a_{k} + o (1) \cdot O (k = 0 \sum \infty ∣ a_{k} ∣) = A B + o (1),

так как $\sum_{k \leq N} a_{k} \to A$ , а ряд из модулей ограничен.

Итого $\sum_{n \leq N} c_{n} = A B + o (1)$ .

Замечание. Корень $N$ здесь непринципиален: годится любая последовательность, которая стремится к бесконечности, но растёт медленнее, чем $N$ .

В этом рассуждении очень существенно, что $\sum a_{n}$ сходится абсолютно. Чтобы построить пример, где без этого всё ломается, нужны ряды, сходящиеся только условно, — а мы таких почти не строили. Поэтому сначала докажем полезный признак сходимости. Точнее, не столько полезный, сколько поучительный.

Признак Дирихле

Теорема (Признак Дирихле). Пусть $(a_{n})$ и $(b_{n})$ — последовательности (нумеруем с $n = 1$ ), причём:

частичные суммы $k \leq n \sum a_{k} = O (1)$ ограничены — это ещё не значит, что ряд $\sum a_{n}$ сходится (пример: $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ );
$(b_{n})$ монотонна (либо $b_{n + 1} \leq b_{n}$ для всех $n$ , либо $b_{n + 1} \geq b_{n}$ для всех $n$ ) и $b_{n} = o (1)$ при $n \to \infty$ .

Тогда ряд $\sum a_{n} b_{n}$ сходится.

Заметка

Заметка. Многие общие признаки сходимости появились у великих математиков во время работы над исследовательскими вопросами, ещё до общих формулировок: признак Гаусса возник в связи с гипергеометрическими функциями, а признак Дирихле, по всей видимости, — в связи с $L$ -функциями Дирихле (о них ниже). Опубликован он, кстати, только в 1862 году — через три года после смерти Дирихле; видимо, к тому времени это стало фольклорным результатом.

Доказывается признак методом, который называется суммированием по частям. Оно родственно — если не сказать эквивалентно — интегрированию по частям, а интегрирование по частям очень важно. Есть история про Питера Лакса (премия Абеля 2005 года): когда на вручении одной национальной премии США его спросили, в чём состоит его достижение, он ответил: «Я проинтегрировал по частям».

Доказательство. Положим

A_{n} = k \leq n \sum a_{k}, A_{0} = 0

(последовательность начинается с $a_{1}$ , поэтому нет $k$ , не превосходящих нуля). По условию $A_{n} = O (1)$ . Тогда $a_{n} = A_{n} - A_{n - 1}$ , и

n \leq N \sum a_{n} b_{n} = n \leq N \sum (A_{n} - A_{n - 1}) b_{n} = A_{N} b_{N} + n \leq N - 1 \sum A_{n} (b_{n} - b_{n + 1}) :

каждое $A_{n}$ с $n < N$ входит один раз с коэффициентом $b_{n}$ и один раз с коэффициентом $- b_{n + 1}$ , а граничное $A_{N}$ — с коэффициентом $b_{N}$ .

Так как $A_{N}$ ограничено, а $b_{N} \to 0$ , слагаемое $A_{N} b_{N}$ стремится к нулю. Поэтому сходимость $\sum a_{n} b_{n}$ эквивалентна сходимости ряда

n \sum A_{n} (b_{n} - b_{n + 1})

— соответствующие частичные суммы отличаются на стремящуюся к нулю последовательность.

Утверждается, что этот ряд сходится абсолютно. Так как $∣ A_{n} ∣ = O (1)$ , достаточно доказать сходимость $\sum ∣ b_{n} - b_{n + 1} ∣$ . Здесь наконец используется монотонность. Без ограничения общности $(b_{n})$ не возрастает (иначе перейдём к противоположной последовательности); тогда все разности неотрицательны, и сумма телескопируется:

n \leq M \sum ∣ b_{n} - b_{n + 1} ∣ = n \leq M \sum (b_{n} - b_{n + 1}) = b_{1} - b_{M + 1} ⟶ b_{1}

— всё, что посередине, сокращается. Частичные суммы ряда с неотрицательными членами ограничены, значит, он сходится. Признак Дирихле доказан.

Следствие (Признак Лейбница). Если $(b_{n})$ монотонна и стремится к нулю, то ряд $\sum (- 1)^{n} b_{n}$ сходится.

Доказательство. Это выбор $a_{n} = (- 1)^{n}$ в признаке Дирихле: частичные суммы таких $a_{n}$ равны то нулю, то $\pm 1$ , то есть ограничены.

Пример. Ряд

n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1}

сходится, потому что $\frac{1}{n + 1}$ — монотонная последовательность, стремящаяся к нулю. (Абсолютно он не сходится: ряд из $1/ n + 1$ расходится, как мы видели в прошлый раз.)

Свёртка условно сходящихся рядов может расходиться

Пример (свёртка двух сходящихся рядов, которая расходится). Положим

a_{n} = b_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1} .

Оба ряда сходятся (условно). Их свёртка:

c_{n} = k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1} \cdot \frac{( - 1 ) ^{n - k}}{n - k + 1} = (- 1)^{n} k = 0 \sum n \frac{1}{( k + 1 ) ( n - k + 1 )} .

Это отличное выражение, на котором можно использовать неравенство о средних

x y \leq \frac{x + y}{2}

(кто не знает, как его доказывать, — возведите в квадрат и посмотрите, что получится). Для чисел $k + 1$ и $n - k + 1$ оно даёт

(k + 1) (n - k + 1) \leq \frac{( k + 1 ) + ( n - k + 1 )}{2} = \frac{n + 2}{2},

то есть каждое из $n + 1$ слагаемых не меньше $\frac{2}{n + 2}$ , и

∣ c_{n} ∣ \geq \frac{2 ( n + 1 )}{n + 2} ⟶ 2.

Ряд $\sum c_{n}$ не просто не сходится — в нём слагаемые не стремятся к нулю. Так бывает.

Замечание. Бывают и положительные замечания. Если последовательности $a_{n}^{'}$ и $b_{n}^{'}$ отличаются от $a_{n}$ и $b_{n}$ умножением на $q^{n}$ , то их свёртка отличается от свёртки $a$ и $b$ тоже умножением на $q^{n}$ :

(a^{'} * b^{'})_{n} = k = 0 \sum n a_{k} q^{k} b_{n - k} q^{n - k} = q^{n} (a * b)_{n} .

Этим свёртка и интересна: функция, которая переводит сложение в произведение, хорошо выносится из свёртки.

Замечание (-функции Дирихле). Зачем Дирихле понадобился его признак? Дирихле придумал рассматривать ряды

L (s, χ) = n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n )}{n ^{s}}

(ему было достаточно вещественных $s > 0$ ), где $χ$ — характеры Дирихле: периодические и вполне мультипликативные функции, $χ (ab) = χ (a) χ (b)$ . Они возникли при доказательстве его теоремы о простых числах в арифметических прогрессиях: существует бесконечно много простых $p$ , сравнимых с данным $a$ по модулю данного $q$ , — конечно, только если $a$ и $q$ взаимно просты (простых, сравнимых с $2$ по модулю $10$ , бесконечно много не бывает, а сравнимых с $1$ — бывает). Для любого характера, кроме главного, эти ряды сходятся при всех $s > 0$ .

Более общо: если последовательность $a_{1}, a_{2}, \dots$ периодична с периодом $q$ и

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{q} = 0,

то ряд $\sum \frac{a _{n}}{n ^{s}}$ сходится при $s > 0$ по признаку Дирихле: любую частичную сумму $a_{n}$ -ых можно распилить на некоторое количество полных периодов (каждый даёт нуль) и ограниченный остаток, а $1/ n^{s}$ монотонно стремится к нулю. Типичные примеры (натуральный логарифм у нас пока формально не определён, но тем не менее):

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = ln 2, 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}

(вторая — сумма имени Лейбница). Вообще, если $a_{n}$ — плюс-минус единички с нулевой суммой по периоду, всегда получаются числа двух типов: логарифмы чего-то понятного (в худшем случае — длинных произведений синусов, но это всё равно алгебраические числа) либо кратные $π$ . Собственно, поэтому здесь и возникает $π$ : ведь $π$ — это на самом деле $lo g (- 1) / i$ .

Суммирование по Чезаро

Итак, у нас есть пример, когда ряды сходятся, а ряд из свёрток — нет. Давайте обсудим, как это можно починить: как придать смысл сумме любой свёртки.

Определение (Суммируемость по Чезаро). Пусть $S_{n}$ — частичные суммы ряда $a_{0} + a_{1} + \dots$ Ряд называется суммируемым по Чезаро, если существует предел

n \to \infty lim \frac{S _{0} + S _{1} + \dots + S _{n - 1}}{n}

(делить на $n$ или на $n - 1$ — конечно, неважно). Этот предел называется суммой ряда по Чезаро.

Пример. Ряд $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ , который мы мучаем уже три лекции, суммируем по Чезаро к $\frac{1}{2}$ : у последовательности его частичных сумм $1, 0, 1, 0, \dots$ ровно половина значений — единички, и в среднем получается $\frac{1}{2}$ .

Теорема (О чезаровской суммируемости свёртки). Пусть ряды $\sum a_{n}$ и $\sum b_{n}$ сходятся к $A$ и $B$ соответственно. Тогда ряд $\sum (a * b)_{n}$ суммируем по Чезаро, и его сумма по Чезаро равна $A B$ .

Чтобы починить странную расходимость из примера выше, достаточно суммировать по Чезаро. На том примере это ярко видно: жизнь портит множитель $(- 1)^{n}$ , и если его усреднить, всё снова работает. (В обычном смысле свёртка сходиться, вообще говоря, не будет.)

Доказательство. Как обычно, нужно чего-нибудь просуммировать по частям. Мы хотим доказать, что

n \leq N \sum m \leq n \sum (a * b)_{m} = A B \cdot N + o (N) (N \to \infty) :

слева стоит сумма частичных сумм, и после деления на $N$ в пределе должно получиться $A B$ . (Запись $c_{N} = o (d_{N})$ означает, что отношение стремится к нулю; желательно писать $o$ только от положительных последовательностей.)

Раскрываем скобки. Частичная сумма свёртки — это

m \leq n \sum (a * b)_{m} = k + l \leq n \sum a_{k} b_{l} .

Подставим это внутрь и поменяем порядок суммирования: слагаемое $a_{k} b_{l}$ входит в сумму по тем $n$ , для которых $k + l \leq n \leq N$ , то есть ровно $N + 1 - k - l$ раз. Получаем

n \leq N \sum m \leq n \sum (a * b)_{m} = k \leq N \sum a_{k} l \leq N - k \sum (N + 1 - l - k) b_{l} .

Суммируем по частям. Обозначим частичные суммы

A_{n} = m \leq n \sum a_{m}, B_{n} = m \leq n \sum b_{m};

при $n \to \infty$ они ведут себя как $A_{n} = A + o (1)$ и $B_{n} = B + o (1)$ — это и нужно контролировать. Подставим $a_{k} = A_{k} - A_{k - 1}$ и посмотрим, с каким коэффициентом входит каждое $A_{k}$ . Граничное $A_{N}$ входит с коэффициентом $b_{0} = B_{0}$ (единственное слагаемое с $a_{N}$ — это $l = 0$ , $k = N$ ). Для $k \leq N - 1$ коэффициент равен разности

l \leq N - k \sum (N + 1 - l - k) b_{l} - l \leq N - 1 - k \sum (N - l - k) b_{l} .

Эти суммы почти не отличаются: все слагаемые с $l \leq N - 1 - k$ входят с коэффициентом $(N + 1 - l - k) - (N - l - k) = 1$ , и ещё слагаемое $l = N - k$ входит в первую сумму с коэффициентом $1$ . Вся разность сворачивается в

l \leq N - k \sum b_{l} = B_{N - k} .

Итого

n \leq N \sum m \leq n \sum (a * b)_{m} = A_{N} B_{0} + k \leq N - 1 \sum A_{k} B_{N - k} .

Произошло некоторое поразительное совпадение: остались только произведения частичных сумм.

Оцениваем. Слагаемое $A_{N} B_{0}$ ограничено. В сумме $\sum_{k \leq N - 1} A_{k} B_{N - k}$ выкинем крайние слагаемые — скажем, все $k \leq N$ и все $k \geq N - N$ : их $O (N)$ штук, каждое $O (1)$ , итого $o (N)$ . У оставшихся и $k$ , и $N - k$ стремятся к бесконечности, поэтому каждое равно $(A + o (1)) (B + o (1)) = A B + o (1)$ равномерно, а их количество равно $N + O (N)$ . Раскрывая скобки, получаем

A B \cdot N + o (N),

что и требовалось.

Чезаровское суммирование высших порядков

Обычная сходимость — это «суммируемость по Чезаро порядка нуль», а написанное выше — порядка один. Определим натуральные порядки:

S_{N}^{(0)} = S_{N}, S_{N}^{(1)} = средние чисел S_{0}, \dots, S_{N - 1}, S_{N}^{(2)} = средние средних, \dots

Определение (-суммируемость). Ряд $\sum a_{n}$ называется $r$ -суммируемым, если существует предел

N \to \infty lim S_{N}^{(r)}

— предел $r$ -кратно усреднённых частичных сумм.

На самом деле натуральность $r$ непринципиальна: суммируемость по Чезаро определяется для любого вещественного порядка $r > - 1$ (без подробностей).

Теорема (Чезаро). Если ряд $\sum a_{n}$ является $r$ -суммируемым, ряд $\sum b_{n}$ — $s$ -суммируемым, причём $r, s > - 1$ , то их свёртка является $(r + s + 1)$ -суммируемой.

Доказанное выше — частный случай $r = s = 0$ . Как видно из этой теоремы, «канонического» порядка суммирования, согласованного со свёрткой, нет: для этого нужно было бы $r + r + 1 = r$ , то есть $r = - 1$ , а он не достигается.

Замечание. Не всякий ряд суммируем по Чезаро хоть какого-нибудь порядка: скажем, расходящийся ряд с положительными членами (например, гармонический, а тем более $\sum n!$ ) усреднениями не спасти — средние тоже уходят в бесконечность.

Безусловная сходимость и теорема Римана

У нас есть абсолютная сходимость, условная сходимость и расходимость. Ещё с рядом можно делать вот что: взять слагаемые и как-нибудь их переставить.

Определение (Безусловная сходимость). Ряд $n = 1 \sum \infty a_{n}$ называется безусловно сходящимся, если для любой биекции $π : N \to N$ ряд

n = 1 \sum \infty a_{π (n)}

сходится, причём для разных биекций — к одному и тому же.

Перестановки здесь любые, не обязательно конечные (конечные перестановки, ясно, любой ряд выдерживает).

Теорема (Риман, о перестановках). (а) Если ряд $\sum a_{n}$ сходится абсолютно, то он сходится безусловно.

(б) Если ряд $\sum a_{n}$ сходится условно, то для любого $x \in R$ существует биекция $π$ такая, что

n = 1 \sum \infty a_{π (n)} = x .

Более того, в качестве $x$ можно взять $+ \infty$ или $- \infty$ , а можно добиться и того, чтобы переставленный ряд вообще не имел предела частичных сумм.

То есть безусловно сходящиеся ряды — это в точности абсолютно сходящиеся; а условно сходящийся ряд «абсолютно зверски безусловно не сходится»: перестановками из него можно получить какую угодно ерунду. Докажем пункт (а) — положительное прекрасное утверждение, оно доказывается очень легко — и пункт (б) для вещественного $x$ ; всё остальное на вашей совести.

Доказательство. Пункт (а). Пусть $S = \sum a_{n}$ и $π$ — биекция. Зададимся $ε > 0$ . По абсолютной сходимости существует $N$ такое, что

n > N \sum ∣ a_{n} ∣ \leq \frac{ε}{2} .

Положим

N_{1} = max (π^{- 1} (1), \dots, π^{- 1} (N))

— это может быть что-нибудь очень большое, но что поделать; во всяком случае $N_{1} \geq N$ . Тогда при любом $M \geq N_{1}$ сумма $\sum_{n \leq M} a_{π (n)}$ включает в себя все слагаемые $a_{1}, \dots, a_{N}$ (номера $π^{- 1} (1), \dots, π^{- 1} (N)$ в ней уже встретились), а все остальные её слагаемые имеют номера $π (n) > N$ :

n \leq M \sum a_{π (n)} = n \leq N \sum a_{n} + n \leq M π (n) > N \sum a_{π (n)} .

Вторая сумма по модулю не больше $ε /2$ . Первая отличается от $S$ на хвост, который тоже не больше $ε /2$ по модулю. Итого

n \leq M \sum a_{π (n)} - S \leq ε :

всякая достаточно длинная частичная сумма переставленного ряда близка к $S$ .

Пункт (б). Напомним конструкцию (в этот раз с удобным для доказательства знаком):

a_{n}^{+} = {a_{n}, 0, a_{n} \geq 0, a_{n} < 0, a_{n}^{-} = {a_{n}, 0, a_{n} \leq 0, a_{n} > 0.

Ряд $\sum a_{n}^{+}$ обязательно расходится: если бы он сходился, то сходился бы и $\sum a_{n}^{-} = \sum (a_{n} - a_{n}^{+})$ , а тогда $\sum ∣ a_{n} ∣ = \sum a_{n}^{+} - \sum a_{n}^{-}$ сходился бы — вопреки тому, что сходимость лишь условная. Аналогично расходится $\sum a_{n}^{-}$ .

Без потери общности $x \geq 0$ (иначе перейдём к противоположному ряду). Идея: накидываем в ряд положительные слагаемые, пока не перевалим через $x$ ; после этого накидываем отрицательные, пока не перевалим обратно; и так скачем вокруг $x$ . Формально: $N_{1}$ — минимальное $N$ такое, что

m \leq N \sum a_{m}^{+} > x;

$N_{2}$ — минимальное $N$ такое, что

m \leq N_{1} \sum a_{m}^{+} + m \leq N \sum a_{m}^{-} < x;

и так далее: на нечётных шагах переваливаем за $x$ вправо, на чётных — влево. Такие $N_{k}$ существуют, потому что ряды $\sum a_{n}^{+}$ и $\sum a_{n}^{-}$ расходятся: положительными слагаемыми можно набрать сколь угодно много, отрицательными — сколь угодно мало. Автоматически $N_{1} < N_{3} < N_{5} < \dots$ и $N_{2} < N_{4} < \dots$ (каждый раз добавляются новые слагаемые).

Перестановка такая: сначала все положительные слагаемые с номерами до $N_{1}$ , потом все отрицательные с номерами до $N_{2}$ , потом положительные с номерами от $N_{1}$ до $N_{3}$ и так далее. Частичные суммы получающегося ряда бывают двух сортов:

m \leq N_{2 k - 1} \sum a_{m}^{+} + m \leq n \sum a_{m}^{-} или m \leq n \sum a_{m}^{+} + m \leq N_{2 k} \sum a_{m}^{-},

где $n$ пробегает промежуток между соответствующими граничными индексами (и эти границы растут с ростом $k$ ).

Посмотрим на «верхнюю» точку поворота — сумму в момент $N_{2 k - 1}$ :

σ_{2 k - 1} = m \leq N_{2 k - 1} \sum a_{m}^{+} + m \leq N_{2 k - 2} \sum a_{m}^{-} .

Она больше $x$ по построению; а если выкинуть последнее добавленное положительное слагаемое, станет меньше $x$ (минимальность $N_{2 k - 1}$ ). Значит,

x < σ_{2 k - 1} \leq x + a_{N_{2 k - 1}}^{+} .

Но слагаемые сходящегося ряда стремятся к нулю, а индексы $N_{2 k - 1}$ растут, поэтому $a_{N_{2 k - 1}}^{+} \to 0$ : точки поворота стремятся к $x$ . Пока мы идём от $N_{2 k - 1}$ к $N_{2 k}$ , мы только вычитаем, поэтому все промежуточные суммы остаются больше $x$ (мы ещё не перевалили) и меньше $σ_{2 k - 1}$ . То же самое — про нижние точки поворота, с точностью до замены «больше» на «меньше» и чётного на нечётное. Все частичные суммы с ростом $k$ зажимаются во всё более узкие рамки вокруг $x$ , поэтому переставленный ряд сходится к $x$ .

Если же хотите, чтобы сумма совсем разошлась и не имела предела, — на нечётных шагах перескакивайте через $+ 1$ , а на чётных через $- 1$ : сумма будет болтаться между $- 1$ и $1$ и никуда не сойдётся. Хотите $+ \infty$ — на $k$ -м нечётном шаге перескакивайте через $k$ , потом возвращайтесь на единичку.

TikZ diagram — Перестановка условно сходящегося ряда: положительные слагаемые накидываются до перевала через $x$ , затем отрицательные — до перевала обратно. Перевалы стремятся к $x$ , потому что слагаемые стремятся к нулю.

Замечание. Из пункта (а) попутно получается: если ряд сходится и состоит из неотрицательных слагаемых, его сумма — это просто точная верхняя грань сумм по всем конечным подмножествам. Так, кстати, иногда определяют континуальные суммы.

Замечание (теорема Дворецкого–Роджерса). Про перестановки есть, как ни странно, глубокие результаты. Свойство «безусловная сходимость = абсолютная» — существенно конечномерное. Ряды можно рассматривать не только из чисел, но и из векторов: скажем, ряд из векторов $R^{10}$ сходится абсолютно, если сходится сумма длин, и тогда он сходится (например, покоординатно) — пункт (а) переносится. А вот в бесконечномерии это немедленно ломается. Пусть $X$ — пространство с нормой, полное по этой норме (то есть банахово пространство над $R$ ; кто такие нормированные пространства — поговорим потом). Теорема Дворецкого–Роджерса: если множество безусловно сходящихся рядов в $X$ совпадает с множеством абсолютно сходящихся, то размерность $X$ конечна. Иначе говоря, в любом бесконечномерном банаховом пространстве есть безусловно сходящийся ряд, который не сходится абсолютно. (Включение в одну сторону — абсолютная влечёт безусловную — верно всегда и доказывается ровно так же.) Это лирическое отступление; глубокая теорема, связанная, среди прочего, с тензорными произведениями банаховых пространств.

Признак Раабе

Признаков сходимости бывает много разных: кто на что натыкался в исследовательской работе, тот такие признаки и придумывал. Вот, например, признак Раабе.

Утверждение (признак Раабе). Пусть $a_{n} > 0$ . Если для всех достаточно больших $n$

n (\frac{a _{n}}{a _{n + 1}} - 1) \geq c > 1

(левая часть отделена от единицы), то ряд $\sum a_{n}$ сходится. Если же для всех достаточно больших $n$

n (\frac{a _{n}}{a _{n + 1}} - 1) \leq 1,

то ряд $\sum a_{n}$ расходится. (Если не выполняется ни то ни другое, признак ничего не говорит.)

Доказательство. Докажем часть про расходимость — это очень быстро. Неравенство переписывается как

\frac{a _{n}}{a _{n + 1}} \leq 1 + \frac{1}{n} = \frac{n + 1}{n}, то есть (n + 1) a_{n + 1} \geq n a_{n} .

Значит, последовательность $n a_{n}$ не убывает, и начиная с некоторого момента $n a_{n} \geq c$ для некоторой константы $c > 0$ , то есть $a_{n} \geq \frac{c}{n}$ . Ряд почленно мажорирует константу на гармонический ряд — значит, расходится.

Расходящиеся ряды со сходящейся свёрткой

Давайте сгенерируем ещё контрпример — в другую сторону: бывают ли два расходящихся ряда, у которых свёртка сходится?

Пример (гармонический ряд, свёрнутый со знакопостоянным, не подходит). Попробуем сначала $a_{n} = \frac{1}{n + 1}$ и $b_{n} = (- 1)^{n}$ (оба ряда расходятся). Свёртка:

c_{n} = k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{n - k}}{k + 1} = (- 1)^{n} k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1},

а внутренняя сумма стремится к $ln 2$ . То есть $c_{n}$ асимптотически ведёт себя как $(- 1)^{n} ln 2$ : слагаемые свёртки не стремятся к нулю, и она тоже расходится.

Пример (два расходящихся ряда со сходящейся свёрткой). А вот пример почудовищнее. Возьмём

a_{n} : 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + \dots (a_{0} = 2, a_{n} = 2^{n} при n \geq 1),

b_{n} : - 1 + 1 + 1 + 1 + \dots (b_{0} = - 1, b_{n} = 1 при n \geq 1) .

Оба ряда расходятся совершенно безнадёжно (и по Чезаро любого порядка тоже: у положительного расходящегося ряда усреднения не помогают). Посчитаем свёртку. Ясно, что $c_{0} = a_{0} b_{0} = - 2$ . При $n \geq 1$ слагаемое с $k = n$ даёт $- a_{n}$ , остальные входят с коэффициентом $1$ :

c_{n} = - 2^{n} + (2 + 2 + 4 + \dots + 2^{n - 1}) = - 2^{n} + 2 + (2^{n} - 2) = 0.

Получился замечательный ряд

- 2 + 0 + 0 + \dots,

который сходится. Можно свернуть два совершенно расходящихся ряда и получить нечто сходящееся.

Непрерывные функции

Хватит возиться с последовательностями и рядами — надо начинать с функциями. В анонсе курса смело было написано: «непрерывные функции, дифференцирование, выпуклость, формула Тейлора»; посмотрим, на сколько лекций это растянется. Не вдаваясь в детали, будем пока рассматривать функции из $R$ в $R$ .

Одно из определений ниже использует понятие открытого множества — дадим его сначала.

Определение (Открытое множество). Подмножество $U \subset R$ открыто, если для любого $u \in U$ существует $ε > 0$ такое, что целый интервальчик

(u - ε, u + ε) \subset U .

То есть множество открыто, если каждый его элемент содержится в нём вместе с какой-нибудь своей маленькой окрестностью.

Пример. Интервал $(0, 1)$ — именно интервал, все числа строго между нулём и единицей — открыт: любое такое число можно окружить маленьким интервальчиком, который всё ещё лежит в $(0, 1)$ . А отрезок $[0, 1]$ открытым не является: какой бы интервал вокруг нуля вы ни взяли, он не будет целиком содержаться в отрезке.

Замечание. В топологии всё устроено в обратную сторону: там сначала договариваются, какие множества считать открытыми, и потом с этим работают. А здесь у нас метрическое пространство, поэтому открытость есть автоматически: «интервальчик» — это на самом деле одномерный шарик.

Определение (Непрерывная функция). Функция $f : R \to R$ непрерывна, если выполнено одно из трёх (эквивалентных, как мы сейчас докажем) условий:

(а) Для любого $r \in R$ и любой последовательности $r_{n} \to r$

f (r_{n}) ⟶ f (r) .

Непрерывные функции — это функции, в которых можно переходить к пределам последовательностей.

(б) Для любого $r \in R$ и любого $ε > 0$ существует $δ > 0$ такое, что

∣ r - s ∣ < δ ⟹ ∣ f (r) - f (s) ∣ < ε .

По-человечески: какой бы степенью близости мы ни задались, если $s$ достаточно близко к $r$ (и более ничего не контролируется), то $f (s)$ близко к $f (r)$ .

(в) Для любого открытого $U \subset R$ прообраз

f^{- 1} (U) = {x \in R ∣ f (x) \in U}

также открыт.

Замечание. Когда люди стали абстрактно определять, что такое непрерывная функция, было много разногласий: думали, что непрерывная функция — это что-то, что можно написать формулой, а если штука на одном интервале такая, на другом другая, а на третьем третья — то это какая-то гадость, а не непрерывная функция. Так думать нельзя: продуктивно думать о непрерывных функциях именно как о функциях, которые уважают пределы, — или у которых прообраз открытого открыт.

Теорема. Условия (а), (б) и (в) эквивалентны.

Доказательство. Пойдём в обратном алфавитном порядке.

(в) $\Rightarrow$ (б). Возьмём $r \in R$ и $ε > 0$ . Рассмотрим множество

U_{ε} (f (r)) = {x \in R ∣ ∣ x - f (r) ∣ < ε}

— открытый интервальчик вокруг $f (r)$ ; это открытое множество. По условию (в) его прообраз $f^{- 1} (U_{ε} (f (r)))$ открыт. Этот прообраз содержит $r$ (ведь $f (r)$ лежит в самом множестве). Значит, по определению открытости существует $δ > 0$ такое, что

(r - δ, r + δ) \subset f^{- 1} (U_{ε} (f (r))) .

Расшифруем: для любого $s$ с $∣ s - r ∣ < δ$ точка $s$ лежит в прообразе, то есть $f (s) \in U_{ε} (f (r))$ , то есть $∣ f (s) - f (r) ∣ < ε$ . Это в точности (б).

(б) $\Rightarrow$ (а). Это как раз тривиально. Пусть $r_{n} \to r$ и задано $ε > 0$ . По (б) найдётся $δ$ ; по сходимости найдётся $N$ такое, что $∣ r_{n} - r ∣ < δ$ при $n \geq N$ . Тогда $∣ f (r_{n}) - f (r) ∣ < ε$ при $n \geq N$ , то есть $f (r_{n}) \to f (r)$ .

(а) $\Rightarrow$ (в). Пусть $U$ открыто; хотим доказать, что прообраз открыт. Возьмём $u \in f^{- 1} (U)$ и предположим противное: никакая окрестность $u$ не лежит в $f^{- 1} (U)$ . Тогда для любого $n \geq 1$ существует $u_{n}$ такое, что

∣ u - u_{n} ∣ < \frac{1}{n}, u_{n} \in / f^{- 1} (U) .

Разность $u - u_{n}$ бесконечно малая, то есть $u_{n} \to u$ , и по свойству (а)

n \to \infty lim f (u_{n}) = f (u) .

С другой стороны, $U$ открыто и $f (u) \in U$ , поэтому существует $ε > 0$ такое, что весь интервальчик $U_{ε} (f (u))$ лежит в $U$ . Но $u_{n} \in / f^{- 1} (U)$ означает $f (u_{n}) \in / U$ , а тогда тем более $f (u_{n}) \in / U_{ε} (f (u))$ , то есть

∣ f (u_{n}) - f (u) ∣ \geq ε для всех n .

Явное противоречие: $f (u_{n})$ сходится к $f (u)$ и одновременно всё время отстоит от него хотя бы на $ε$ .

Замечание. Зачем фундаментальному понятию несколько эквивалентных определений? Потому что с их помощью разные вещи доказываются с разной скоростью. Попробуйте доказать через определение (б), что композиция непрерывных функций непрерывна: понадобятся $ε$ , $δ$ и ещё третья греческая буква (какая-нибудь $ξ$ ). А из пункта (в) это очевидно: возьмите открытое множество, его прообраз относительно второй функции открыт, прообраз этого прообраза относительно первой — тоже открыт; значит, прообраз относительно композиции открыт. Вот и всё.

В следующий раз быстро-быстро докажем, что все стандартные функции непрерывны, и дальше будем свободно с ними обращаться и доказывать свойства непрерывных функций — сначала простые, а потом всё сложнее и сложнее.