Анализ–1. Лекция 2

Продолжение разговора о вещественных числах: порядок на $R$ , полнота и существование точной верхней грани. Затем — верхние и нижние пределы, числовые и степенные ряды и число $e$ .

Порядок на $R$ (дополнение к лекции 1)

Поле $Q$ рациональных чисел упорядочено:

r_{1} \geq r_{2} ⟺ r_{1} - r_{2} \geq 0.

Как понять, что рациональное число неотрицательно? Любое ненулевое рациональное число однозначно записывается в виде

ε \frac{p}{q}, p, q \in N, (p, q) = 1, ε = \pm 1.

Если $ε = + 1$ , число положительно; если $ε = - 1$ — отрицательно. Нуль рассматривается отдельно.

Раз $Q$ упорядочено, то и $R$ упорядочено. Как понять, что вещественное число неотрицательно?

Определение (Неотрицательное вещественное число). Число $a \in R$ называется неотрицательным, если существует последовательность ${a_{n}} \subset Q$ такая, что

a_{n} \geq 0 для всех n, n \to \infty lim a_{n} = a .

То есть вещественное число неотрицательно, если к нему сходится какая-нибудь неотрицательная последовательность рациональных чисел.

Замечание. Это определение не использует сравнения вещественных чисел: вещественное число — это класс эквивалентности фундаментальных рациональных последовательностей (лекция 1), а сходимость рациональной последовательности к $a$ означает, что разность с любым представителем этого класса бесконечно мала.

Замечание (О подпоследовательностях). Если $a_{n} \to a$ и $n_{1} < n_{2} < \dots$ — возрастающая последовательность натуральных чисел, то

k \to \infty lim a_{n_{k}} = a .

Действительно, всякий достаточно далёкий член последовательности близок к $a$ ; члены подпоследовательности с большими номерами — тем более. Утверждение верно и для последовательностей, стремящихся к бесконечности.

Утверждение. Всякое ненулевое вещественное число либо положительно, либо отрицательно.

Доказательство. Пусть ${a_{n}} \subset Q$ — последовательность, сходящаяся к числу $a$ . Рассмотрим её неотрицательные и неположительные члены; хотя бы одних из них бесконечно много. Из них можно составить бесконечную подпоследовательность, и по предыдущему замечанию она сходится к $a$ . Значит, $a$ неотрицательно или неположительно; так как $a \neq = 0$ , оно положительно или отрицательно.

Определение (Модуль). Модулем (абсолютной величиной) вещественного числа $x$ называется

∣ x ∣ = max {x, - x} .

$R$ как полное упорядоченное поле

В прошлый раз $R$ было определено как пополнение $Q$ : вещественные числа — классы эквивалентности фундаментальных рациональных последовательностей. Но думать о вещественных числах всё время в таких терминах странно, и есть альтернативное (эквивалентное) определение.

Определение (Полное упорядоченное поле). $R$ — это полное упорядоченное поле, то есть:

$(R, +, \cdot, 0, 1)$ — поле (со всеми аксиомами поля: сумма, произведение, нуль, единица, противоположный элемент и обратный ко всему, что не нуль).
$(R, \leq)$ — линейно упорядоченное множество (любые два элемента сравнимы), причём порядок согласован со структурой поля:

$x \leq y \Rightarrow x + z \leq y + z, x, y \geq 0 \Rightarrow x y \geq 0.$
Полнота: если непустое множество $A \subset R$ ограничено сверху, то существует $sup A$ — точная верхняя грань.

Определение (Точная верхняя грань). $sup A$ — наименьшая верхняя грань множества $A$ : верхняя грань, которая не больше любой другой верхней грани.

Замечание. Из аксиом пункта 2 всё остальное легко выводится. Например, сумма неотрицательных чисел неотрицательна (возьмите $x = 0$ ). Единица неотрицательна: если бы $1 < 0$ , то $- 1 > 0$ (их сумма — нуль, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна), но тогда по второй аксиоме $(- 1) \cdot (- 1) = 1 \geq 0$ — противоречие.

Первых двух пунктов недостаточно: им удовлетворяет и $Q$ с обычным порядком. Всё содержание — в аксиоме полноты.

Теорема (Единственность полного упорядоченного поля). Любые два полных упорядоченных поля изоморфны (причём изоморфизмом, сохраняющим порядок) и изоморфны полю вещественных чисел.

Набросок доказательства. Внутрь любого полного упорядоченного поля можно вложить рациональные числа: такое поле автоматически имеет характеристику нуль. Далее работает аксиома Архимеда (см. ниже), с помощью которой каждый элемент поля приближается рациональными; подробности мы опускаем.

Утверждение (аксиома Архимеда). Для любого $x \in R$ существует натуральное число $n$ такое, что $x < n$ .

Доказательство. Предположим, что для какого-то $x$ такого $n$ не найдётся. Тогда множество $N$ ограничено сверху, и по аксиоме полноты существует $s = sup N$ . Но для всякого $n \in N$ также $n + 1 \in N$ , поэтому $n + 1 \leq s$ , то есть $n \leq s - 1$ . Значит, $s - 1$ — тоже верхняя грань $N$ , меньшая, чем $s$ . Противоречие с тем, что $s$ — наименьшая верхняя грань.

Заметка

Заметка. Кто первым придумал определять вещественные числа аксиоматически — вопрос без полного согласия: есть работа Хантингтона 1903 года, тексты Гильберта 1900 года и, по-видимому, неопубликованная работа Штольца с более или менее эквивалентными утверждениями.

Существование точной верхней грани

Восполним пробел в доказательстве с прошлого раза.

Теорема (О точной верхней грани). Пусть $A \subset R$ , $A \neq = \emptyset$ , и существует $M \in R$ такое, что $a \leq M$ для всех $a \in A$ (кратко: $A \leq M$ ). Тогда существует $sup A$ — наименьшая верхняя грань $A$ .

Замечание. Требование $A \neq = \emptyset$ существенно: точную верхнюю грань пустого множества считают равной $- \infty$ ; это тонкий, однако не очень содержательный случай.

Доказательство. Рассмотрим двоично-рациональные числа — числа вида $\frac{m}{2 ^{n}}$ , $m \in Z$ , $n \in N$ .

Построение последовательности. Для каждого $n$ положим

x_{n} = min {\frac{m}{2 ^{n}} m \in Z, \frac{m}{2 ^{n}} — верхняя грань A} .

Такое число существует. Во-первых, у $A$ есть верхняя грань $M$ , а по аксиоме Архимеда найдётся целая верхняя грань $n_{0} > M$ ; целое число имеет нужный вид ( $n_{0} = n_{0} 2^{n} / 2^{n}$ ). Во-вторых, множество подходящих $m$ ограничено снизу: так как $A \neq = \emptyset$ , возьмём $a \in A$ — всякая верхняя грань не меньше $a$ . Непустое ограниченное снизу множество целых чисел имеет минимальный элемент (целые числа, большие данного числа, вполне упорядочены — в отличие от вещественных).

Шаг 1: соседние члены. Утверждение: для каждого $n$

x_{n + 1} = x_{n} или x_{n + 1} = x_{n} - \frac{1}{2 ^{n + 1}} .

Пусть $x_{n} = \frac{m}{2 ^{n}} = \frac{2 m}{2 ^{n + 1}}$ и $x_{n + 1} = \frac{m _{1}}{2 ^{n + 1}}$ .

$x_{n + 1} \leq x_{n}$ : число $x_{n}$ само имеет вид $\frac{\cdot}{2 ^{n + 1}}$ и является верхней гранью, а $x_{n + 1}$ — минимальное такое. Отсюда $m_{1} \leq 2 m$ .
$x_{n} - \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{m - 1}{2 ^{n}}$ — уже не верхняя грань $A$ : иначе это было бы число вида $\frac{\cdot}{2 ^{n}}$ , являющееся верхней гранью и меньшее, чем $x_{n}$ , — противоречие с минимальностью $x_{n}$ . Значит, $\frac{m _{1}}{2 ^{n + 1}} > \frac{2 m - 2}{2 ^{n + 1}}$ , то есть $m_{1} > 2 m - 2$ .

Итого $m_{1} = 2 m$ или $m_{1} = 2 m - 1$ , что и утверждалось.

Шаг 2: последовательность ${x_{n}}$ сходится. Пусть $m > n$ . По неравенству треугольника и шагу 1

∣ x_{m} - x_{n} ∣ \leq ∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣ + \dots + ∣ x_{m} - x_{m - 1} ∣ \leq \frac{1}{2 ^{n + 1}} + \frac{1}{2 ^{n + 2}} + \dots + \frac{1}{2 ^{m}} < \frac{1}{2 ^{n}}

(сумма последовательных отрицательных степеней двойки оценивается первой невключённой степенью). Значит, последовательность ${x_{n}}$ фундаментальна, а фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к вещественному числу — по самому построению $R$ . Положим

x = n \to \infty lim x_{n} .

Шаг 3: $x$ — верхняя грань. Пусть $a \in A$ . Тогда $x_{n} \geq a$ для всех $n$ , то есть $x_{n} - a \geq 0$ . Предел последовательности неотрицательных чисел неотрицателен, поэтому $x - a \geq 0$ .

Шаг 4: $x$ — наименьшая верхняя грань. Пусть не так: существует верхняя грань $y < x$ . Заметим, что между любыми двумя вещественными числами есть двоично-рациональное: существуют $l \in Z$ и $k \in N$ такие, что

y < \frac{l}{2 ^{k}} < x .

(Действительно, $x - y > 0$ , значит $\frac{1}{x - y} > 0$ и по аксиоме Архимеда найдётся степень двойки $2^{k} > \frac{1}{x - y}$ ; тогда $2^{k} (x - y) > 1$ , и между $2^{k} y$ и $2^{k} x$ есть целое число $l$ .)

По шагу 1 последовательность ${x_{n}}$ монотонно не возрастает, поэтому её предел не больше каждого её члена: $x \leq x_{k}$ . Отсюда

\frac{l}{2 ^{k}} < x \leq x_{k} .

Но $x_{k}$ — наименьшее число вида $\frac{\cdot}{2 ^{k}}$ , являющееся верхней гранью $A$ ; значит, $\frac{l}{2 ^{k}}$ — не верхняя грань, то есть найдётся $a \in A$ с $a > \frac{l}{2 ^{k}} > y$ . Это противоречит тому, что $y$ — верхняя грань.

Итак, $x = sup A$ .

TikZ diagram — Минимальные двоично-рациональные верхние грани $x_{n}$ монотонно не возрастают и сходятся к $sup A$ : на каждом шаге $x_{n + 1}$ либо совпадает с $x_{n}$ , либо меньше на $2^{- (n + 1)}$ .

Мы знаем теперь, что всякое ограниченное сверху непустое множество имеет точную верхнюю грань. Из этого можно поизвлекать следствия — как совсем игрушечные, так и более глобальные.

Следствие (Существование корня). Существует $2$ .

Доказательство. Рассмотрим множество

A = {x \in R ∣ x^{2} < 2} .

Оно ограничено сверху (всякий его элемент меньше двух: у числа, большего двух, квадрат уж точно больше двух) и непусто (в нём лежит единица). Значит, существует $s = sup A$ ; это и есть $2$ . Действительно, $s^{2} = 2$ : если бы $s^{2} < 2$ , можно было бы чуть-чуть сдвинуться вправо, оставаясь в $A$ , — и $s$ не было бы верхней гранью; если бы $s^{2} > 2$ , можно было бы чуть-чуть сдвинуться влево, оставаясь верхней гранью, — и $s$ не было бы наименьшей. Это рассуждение доводится до полностью строгого.

Замечание. Точно так же строится корень $n$ -й степени из любого неотрицательного числа — и вообще так можно добиваться существования корней у много чего, не только у многочленов. Мы этим будем пользоваться.

Следствие (Монотонная ограниченная последовательность сходится). Если последовательность ${a_{n}}$ монотонна (для определённости — монотонно возрастает) и $a_{n} = O (1)$ , то она сходится.

Это утверждение из листка; решение здесь не приводится. Указание: подумайте, при чём тут существование точной верхней грани.

Верхний и нижний пределы

Будем работать с ограниченными (с обеих сторон) последовательностями. Определение имеет смысл и для произвольных, просто получившаяся величина не обязательно будет определена (конечна).

Определение (Верхний и нижний пределы). Пусть ${a_{n}}$ — последовательность. Её верхним пределом называется

n \to \infty lim sup a_{n} = in f {a \in R ∣ a_{n} \leq a для достаточно больших n} .

«Для достаточно больших $n$ » означает: существует $N$ такое, что неравенство выполнено при всех $n \geq N$ (причём $N$ может зависеть от $a$ ).

Нижний предел $n \to \infty lim inf a_{n}$ определяется так же с обращением всех неравенств и заменой инфимумов на супремумы и наоборот.

Замечание. Если $a_{n} = O (1)$ (последовательность ограничена с обеих сторон), то верхний и нижний пределы существуют. Несложно также записать верхний и нижний пределы как пределы некоторых последовательностей.

Пример (Расстояния между простыми числами). Пусть $p_{n}$ — $n$ -е простое число. Тогда

n \to \infty lim sup (p_{n + 1} - p_{n}) = + \infty :

между простыми числами бывают сколь угодно большие дыры — числа $n! + 2, n! + 3, \dots, n! + n$ все составные.

А вот про нижний предел известно, что

n \to \infty lim inf (p_{n + 1} - p_{n}) \leq 246,

и это на данный момент рекорд — очень сложная теорема 2014 года, плод коллективного творчества большого количества блестящих математиков. Все верят, что на самом деле этот нижний предел равен $2$ : что существует бесконечно много пар простых-близнецов. Эта гипотеза, по всей видимости, сильнее гипотезы Римана — неизвестно даже, позволяет ли гипотеза Римана заменить здесь $246$ на $2$ .

Пример (Суммы синусов). Рассмотрим последовательность

S_{n} = sin 1 + sin 2 + \dots + sin n .

В листке есть задача о том, что эта последовательность ограничена. В действительности можно вычислить и её верхний предел (это сложнее; используется, например, иррациональность числа $π$ ):

n \to \infty lim sup S_{n} = \frac{1 + cos \frac{1}{2}}{2 sin \frac{1}{2}} \approx 1, 96.

Впрочем, принципиально интереснее сам факт ограниченности, чем конкретное значение.

Эти примеры — частный случай понятия предельной точки. Дадим два разных определения: для последовательностей и для множеств (это вещи разной природы: в последовательности одно и то же число может повторяться, а множества бывают несчётными).

Определение (Предельная точка последовательности). Предельная точка последовательности ${a_{n}}$ — это предел какой-нибудь её подпоследовательности:

x = k \to \infty lim a_{n_{k}}, n_{1} < n_{2} < \dots

(иначе говоря, частичный предел).

Пример. У последовательности $1, - 1, 1, - 1, \dots$ ровно две предельные точки: $1$ и $- 1$ .

Определение (Предельная точка множества). Пусть $A \subset R$ . Точка $x \in R$ называется предельной точкой множества $A$ , если любая проколотая окрестность $x$ содержит элемент $A$ :

\forall ε > 0 \exists a \in A : 0 < ∣ x - a ∣ < ε .

Замечание. Условие $∣ x - a ∣ > 0$ существенно: в множестве может быть куча изолированных точек, которые ни к чему близко не находятся.

Пример. У множества

A = {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots}

ровно одна предельная точка — нуль. Никакая из точек $\frac{1}{n}$ предельной не является (хотя, например, $\frac{1}{3}$ в множестве лежит) — как раз из-за условия $∣ x - a ∣ > 0$ .

Замечание. Если в последовательности числа не повторяются, её предельные точки — это то же самое, что предельные точки множества её значений. Но вообще в последовательности что угодно может повторяться сколько угодно раз, поэтому понятия различаются.

Утверждение (лемма Больцано–Вейерштрасса). Пусть $a_{n} = O (1)$ . Тогда $n \to \infty lim inf a_{n}$ и $n \to \infty lim sup a_{n}$ — предельные точки последовательности ${a_{n}}$ . В частности, у всякой ограниченной последовательности есть хотя бы одна предельная точка: из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Докажем утверждение для верхнего предела $A = n \to \infty lim sup a_{n}$ (для нижнего — аналогично).

Ключевая оценка. Зафиксируем параметры $n$ и $N$ . Утверждение: существует $k > N$ такое, что

A - \frac{1}{2 ^{n}} \leq a_{k} \leq A + \frac{1}{2 ^{n}} .

Во-первых, существует бесконечно много $k$ таких, что $a_{k} \geq A - 2^{- n}$ . Если это не так, то для всех достаточно больших $k$ выполнено $a_{k} \leq A - 2^{- n}$ , и по определению верхнего предела (инфимум чисел, которые с какого-то момента доминируют последовательность) получаем $A \leq A - 2^{- n}$ — противоречие.

Во-вторых, для всех достаточно больших $k$ выполнено $a_{k} \leq A + 2^{- n}$ : если к $A$ прибавить хоть что-нибудь положительное, получится число, большее инфимума, а значит, начиная с какого-то момента оно доминирует последовательность.

Среди бесконечно многих $k$ из первого пункта найдутся сколь угодно большие, удовлетворяющие и второму, — в частности, больше $N$ .

Построение подпоследовательности. Итеративно строим индексы $k_{1} < k_{2} < \dots$ : на шаге $n$ выбираем $k_{n} > k_{n - 1}$ с $∣ a_{k_{n}} - A ∣ \leq 2^{- n}$ (возможно по ключевой оценке). Получается подпоследовательность ${a_{k_{n}}}$ , сходящаяся к $A$ . Значит, $A$ — предельная точка.

Числовые ряды

Сменим тему и поговорим о суммах рядов — чтобы немного закрыть ощущение недосказанности от начала курса, где «доказывалось», что $1 = 0$ , неправильной перестановкой слагаемых. Поговорим о началах этой науки.

Определение (Ряд). Ряд — это формальная бесконечная сумма

a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots = n = 1 \sum \infty a_{n} .

Частичной суммой ряда называется

S_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}

(с суммами конечного числа вещественных чисел проблем нет). Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм; в этом случае

S = k \to \infty lim S_{k}

называется суммой ряда. Ряд, который не сходится, называется расходящимся.

Замечание. Истоки математического анализа лежат ещё в древнегреческих рассуждениях: парадокс Зенона — это, по сути, отрицание существования суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Замечание. Это сходимость в классическом, сильном смысле слова. Иногда суммам расходящихся рядов можно придавать смысл другими способами (в этом курсе мы будем делать это мало); знакочередующаяся сумма натуральных чисел есть в листке — а от неё уже недалеко до знаменитого значения $- \frac{1}{12}$ для суммы всех натуральных чисел.

Предложение 1.

Если ряды $\sum a_{n}$ и $\sum b_{n}$ сходятся, то сходится и $\sum (a_{n} + b_{n})$ , причём

$n = 1 \sum \infty (a_{n} + b_{n}) = n = 1 \sum \infty a_{n} + n = 1 \sum \infty b_{n} .$

Ряды можно почленно складывать.
Если сходится $n = 1 \sum \infty a_{n}$ , то сходится и $n = k \sum \infty a_{n}$ : из ряда можно выкинуть конечное число членов, и он от этого не испортится.

Доказательство. (1) Частичные суммы ряда $\sum (a_{n} + b_{n})$ — это суммы частичных сумм, а предел суммы — сумма пределов.

(2) Частичные суммы получающегося ряда отличаются от частичных сумм исходного на константу.

Утверждение (необходимое условие сходимости). Если ряд $\sum a_{n}$ сходится, то $n \to \infty lim a_{n} = 0$ .

Доказательство. Тавтологически $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ , а $S_{n}$ и $S_{n - 1}$ стремятся к одному и тому же числу $S$ ; получается $S - S = 0$ .

Замечание. Обратное в вещественных числах, к сожалению, неверно: ряд со слагаемыми, стремящимися к нулю, может никуда не сходиться. А вот когда мы поговорим о $p$ -адических числах и прочих ультраметрических радостях, обнаружится, что ряд из $p$ -адических чисел сходится тогда и только тогда, когда его слагаемые стремятся к нулю.

Пример (Ряд из обратных корней). Ряд

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}

расходится, хотя его слагаемые стремятся к нулю. Действительно,

S_{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \geq n \cdot \frac{1}{n} = n,

а сходящаяся последовательность обязана быть ограниченной.

Если же из частичных сумм вычесть главную асимптотику $2 n$ , полученное выражение сойдётся (задача из листка) — причём его предел равен значению $ζ$ -функции в точке $\frac{1}{2}$ . Это общий принцип: если что-нибудь не сходится, вычтите главную асимптотику — и оно, обыкновенно, сойдётся (иногда приходится вычитать и члены меньшего порядка).

Ряды с неотрицательными слагаемыми

Предложение 2. Пусть $a_{n} \geq 0$ для всех $n$ . Тогда ряд $\sum a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены: $S_{n} = O (1)$ .

Доказательство. Так как $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n} \geq 0$ , последовательность частичных сумм монотонно не убывает. Монотонно неубывающая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена (упражнение на точную верхнюю грань — см. листок 1).

Предложение 3 (признак сравнения). Пусть $a_{n}, b_{n} \geq 0$ и $a_{n} \geq b_{n}$ для всех $n$ . Тогда:

из сходимости $\sum a_{n}$ следует сходимость $\sum b_{n}$ ;
из расходимости $\sum b_{n}$ следует расходимость $\sum a_{n}$ (это просто логическое следствие в обратную сторону).

Доказательство. Пусть $\sum a_{n}$ сходится и $A = n = 1 \sum \infty a_{n}$ . Тогда

b_{1} + \dots + b_{n} \leq a_{1} + \dots + a_{n} \leq A,

то есть частичные суммы ряда с неотрицательными слагаемыми $\sum b_{n}$ ограничены сверху, и по предложению 2 он сходится.

Пример (Геометрическая прогрессия). Пусть $q$ — вещественное число (можно и комплексное, это неважно). Ряд

1 + q + q^{2} + q^{3} + \dots

сходится тогда и только тогда, когда $∣ q ∣ < 1$ , и в этом случае его сумма равна $\frac{1}{1 - q}$ .

Действительно, если $∣ q ∣ \geq 1$ , то $n$ -е слагаемое не стремится к нулю ( $∣ q ∣^{n} \geq 1$ ), и ряд расходится. Если $∣ q ∣ < 1$ , то

1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q},

и так как $q^{n + 1} \to 0$ , частичные суммы сходятся к $\frac{1}{1 - q}$ . Это очень полезное равенство, оно повсюду возникает.

Замечание (Про ряд). Если в формулу $\frac{1}{1 - q}$ формально подставить $q = - 1$ , получится

1 - 1 + 1 - 1 + \dots « = » \frac{1}{2} :

два ответа, полученных перестановками на первой лекции, «в среднем» дают правильный. Когда люди изучают расходящиеся ряды, у этого ряда почти всегда получается ответ $\frac{1}{2}$ : он «почти сходится». Это можно определять при помощи функционалов на пространствах последовательностей — например, всякий банахов предел последовательности его частичных сумм $1, 0, 1, 0, \dots$ равен $\frac{1}{2}$ . Но в смысле обычной сходимости ряд, конечно, расходится — как минимум потому, что его слагаемые не стремятся к нулю.

Пример (Телескопическая сумма).

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots = 1.

Действительно, $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ , поэтому

\frac{1}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} = 1 + o (1) .

В листке есть ещё несколько рядов такого сорта — попробуйте их посчитать, получите большое удовольствие.

Абсолютная сходимость

Признак сравнения можно существенно усилить: неотрицательность $a_{n}$ не нужна.

Теорема (Мажорантный признак). Пусть $∣ a_{n} ∣ \leq b_{n}$ для всех $n$ и ряд $\sum b_{n}$ сходится. Тогда ряд $\sum a_{n}$ также сходится.

Доказательство. Заметим, что $b_{n} \geq ∣ a_{n} ∣ \geq 0$ . Определим по последовательности ${a_{n}}$ две другие:

a_{n}^{+} = {a_{n}, 0, a_{n} \geq 0, a_{n} < 0, a_{n}^{-} = {- a_{n}, 0, a_{n} \leq 0, a_{n} > 0.

Обе последовательности неотрицательны по определению, и

a_{n}^{+} \leq b_{n}, a_{n}^{-} \leq b_{n} .

По признаку сравнения ряды $\sum a_{n}^{+}$ и $\sum a_{n}^{-}$ сходятся. Осталось заметить, что

a_{1} + \dots + a_{n} = (a_{1}^{+} + \dots + a_{n}^{+}) - (a_{1}^{-} + \dots + a_{n}^{-}),

а разность двух сходящихся последовательностей сходится.

Итак, чтобы доказать сходимость ряда, достаточно оценить его по модулю сверху чем-нибудь сходящимся.

Определение (Абсолютная сходимость). Если сходится ряд $\sum ∣ a_{n} ∣$ , то ряд $\sum a_{n}$ называется абсолютно сходящимся.

Замечание. Несложное упражнение — доказать ту же теорему для рядов из комплексных чисел: это легко сводится к тому же рассуждению.

Замечание (Три типа рядов). Ряды бывают как минимум трёх разных типов: расходящиеся, абсолютно сходящиеся и сходящиеся, но не абсолютно, — такие ряды называются условно сходящимися. Например, ряд

n = 2 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{lo g n}

условно сходится; почему — поговорим, правда, не на этой лекции.

Кстати, «сходится или расходится» — логическая неизбежность: расходящимся называется всякий ряд, который не сходится. При этом расходиться можно к $+ \infty$ , к $- \infty$ , а можно и просто расходиться, как $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$

Степенные ряды

Степенные ряды — это выражения с параметром; на самом деле это будут функции.

Определение (Степенной ряд). Пусть $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ — последовательность коэффициентов (её удобно нумеровать с нуля). Степенной ряд — это

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} .

Переменную $x$ можно рассматривать как формальную (получится формальный степенной ряд), а можно подставлять вещественные числа — тогда при каждом значении $x$ получается обычный числовой ряд. Здесь принято соглашение $x^{0} = 1$ при всех $x$ , включая формально $0^{0} = 1$ .

Замечание. Степенные ряды часто возникают не только в анализе, но и в алгебре, геометрии, комбинаторике: при помощи производящих рядов удобно кодировать последовательности, особенно если поведение последовательности с первого взгляда не очевидно.

Пример. Ряд $\sum n! x^{n}$ расходится при любом $x \neq = 0$ . Тем не менее и ему иногда можно придать смысл.

Теорема (Формула Коши–Адамара). Положим

R = \frac{1}{n \to \infty lim sup n ∣ a _{n} ∣}

(с соглашениями: если верхний предел равен $+ \infty$ , то $R = 0$ ; если он равен нулю, то $R = + \infty$ ). Тогда ряд $\sum a_{n} x^{n}$ :

сходится (абсолютно) при $∣ x ∣ < R$ ;
расходится при $∣ x ∣ > R$ .

При $∣ x ∣ = R$ может произойти всякое.

Определение (Радиус сходимости). Число $R$ из формулы Коши–Адамара называется радиусом сходимости степенного ряда, а ${∣ x ∣ = R}$ — границей круга сходимости; на границе происходят разные специфические вещи.

Замечание. Корень $n$ -й степени из неотрицательного числа определяется так же, как мы определили $2$ , — через точную верхнюю грань.

Доказательство. Разберём случай $0 < R < \infty$ (в ситуациях $R = 0$ и $R = \infty$ попробуйте разобраться самостоятельно; при $R = \infty$ ряд сходится всегда, при $R = 0$ — только при $x = 0$ ).

Случай $∣ x ∣ > R$ : расходимость. Утверждение: слагаемые $a_{n} x^{n}$ не ограничены. От противного: пусть $a_{n} x^{n} = O (1)$ , то есть $∣ a_{n} ∣ \leq C ∣ x ∣^{- n}$ для некоторой константы $C$ . Тогда

n ∣ a_{n} ∣ \leq C^{1/ n} \cdot ∣ x ∣^{- 1},

и, переходя к верхнему пределу при $n \to \infty$ (учитывая $C^{1/ n} \to 1$ ), получаем

\frac{1}{R} \leq \frac{1}{∣ x ∣}, то есть ∣ x ∣ \leq R

— противоречие. Значит, слагаемые не то что не стремятся к нулю — они вообще не ограничены, и ряд обязательно расходится.

Случай $∣ x ∣ < R$ : сходимость. Так как $\frac{1}{∣ x ∣} > \frac{1}{R}$ , найдётся $c$ с

\frac{1}{R} < c < \frac{1}{∣ x ∣} .

Для всех достаточно больших $n$ выполнено $n ∣ a_{n} ∣ < c$ : иначе нашлось бы бесконечно много $n$ с $n ∣ a_{n} ∣ \geq c$ , и тогда по определению верхнего предела $\frac{1}{R} \geq c$ — а мы выбрали $c$ строго больше $\frac{1}{R}$ . Значит, для больших $n$

∣ a_{n} ∣ \leq c^{n}, ∣ a_{n} x^{n} ∣ \leq (c ∣ x ∣)^{n} = q^{n}, q = c ∣ x ∣ < 1,

и по признаку сравнения с геометрической прогрессией ряд сходится абсолютно.

Замечание (Производящие функции чувствуют асимптотику коэффициентов). Формула Коши–Адамара, хотя и очень просто доказывается, указывает на очень общее явление: особенности производящей функции связаны с асимптотикой её коэффициентов. Нетривиальный пример — $W$ -функция Ламберта:

W (x) = n = 1 \sum \infty \frac{( - n ) ^{n - 1}}{n !} x^{n},

удовлетворяющая соотношению $W (x) e^{W (x)} = x$ . У обратной функции к $w \mapsto w e^{w}$ в точке $- \frac{1}{e}$ особенность (там у $w e^{w}$ зануляется производная, и в окрестности этой точки нет хорошей обратной функции). И это видно по коэффициентам: из формулы Стирлинга следует, что радиус сходимости написанного ряда равен ровно $\frac{1}{e}$ — ряд сходится при $∣ x ∣ < \frac{1}{e}$ и расходится при $∣ x ∣ > \frac{1}{e}$ . Но это высокоуровневый пример; бывают и попроще — геометрическая прогрессия.

Перемножение рядов

Складывать ряды мы научились — просто почленно. Как же их перемножать? Если формально перемножить два ряда, получится не одинарная сумма, а двойная: в ней будут все слагаемые вида $a_{k} b_{m}$ . Чтобы получить из такого произведения одинарный ряд, нужно сделать выбор — сгруппировать друг с другом слагаемые с одинаковой суммой индексов.

Определение (Свёртка рядов). Свёрткой рядов $n = 0 \sum \infty a_{n}$ и $n = 0 \sum \infty b_{n}$ называется ряд $n = 0 \sum \infty c_{n}$ , где

c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k} .

Теорема (О произведении рядов). Пусть ряд $\sum a_{n}$ сходится абсолютно, ряд $\sum b_{n}$ сходится, и

A = n = 0 \sum \infty a_{n}, B = n = 0 \sum \infty b_{n} .

Тогда ряд-свёртка $\sum c_{n}$ сходится и

n = 0 \sum \infty c_{n} = A B .

Упражнение. Требование абсолютной сходимости существенно: предъявите пример двух условно сходящихся рядов, свёртка которых не сходится вообще.

Доказательство. Частичная сумма свёртки — конечная сумма, которую можно перегруппировать: для каждого $k$ вынесем $a_{k}$ и посмотрим, с каким коэффициентом оно входит. Получим

n = 0 \sum N c_{n} = n = 0 \sum N k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k} = k = 0 \sum N a_{k} m = 0 \sum N - k b_{m} = k = 0 \sum N a_{k} B_{N - k},

где $B_{j} = b_{0} + \dots + b_{j}$ — частичные суммы второго ряда; $B_{j} \to B$ и, в частности, $B_{j} = O (1)$ .

Возьмём теперь параметр $M = M (N)$ , растущий вместе с $N$ так, что и $M \to \infty$ , и $N - M \to \infty$ , и разобьём сумму на две части.

Слагаемые с $k \leq N - M$ (длинные внутренние суммы). Здесь $N - k \geq M \to \infty$ , поэтому $B_{N - k} = B + o (1)$ равномерно, и

k = 0 \sum N - M a_{k} B_{N - k} = B k = 0 \sum N - M a_{k} + o (1) \cdot O (k = 0 \sum \infty ∣ a_{k} ∣) = A B + o (1),

поскольку $k \leq N - M \sum a_{k} \to A$ , а ряд $\sum ∣ a_{k} ∣$ сходится.

Слагаемые с $k > N - M$ (хвост). Здесь внутренние суммы просто ограничены, $B_{N - k} = O (1)$ , поэтому

k = N - M + 1 \sum N a_{k} B_{N - k} = O (k > N - M \sum ∣ a_{k} ∣) = o (1)

— хвост абсолютно сходящегося ряда стремится к нулю.

Итого $n = 0 \sum N c_{n} = A B + o (1)$ , что и требовалось.

Число $e$

Число $e$ появлялось в работах учёных XVII века: сначала неявно — в приложении к работе Непера о логарифмах, потом у Гюйгенса; Бернулли изучал сходимость $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ (как у нас в первом листке); Лейбниц писал о нём Гюйгенсу в конце XVII века. Явно, уже под именем $e$ , оно появилось у Эйлера в 1720–1730-х годах.

В листке $e$ определено как

e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n};

существование предела доказывается так: последовательность монотонна и ограничена, а потому сходится (подробности — в листке).

Заметка

Заметка. Запоминать $e \approx 2, 718281828 \dots$ можно так: «два и семь», а дальше — дважды год рождения Льва Толстого (1828). Есть два типа людей: одни так запоминают число $e$ , другие — так запоминают, когда родился Лев Толстой.

Теорема (Ряд для числа).

e = 1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots = n = 0 \sum \infty \frac{1}{n !} .

Доказательство. Обозначим частичные суммы ряда

e_{k} = 1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{k !} .

Сам ряд $\sum \frac{1}{n !}$ сходится: факториалы растут быстрее, чем, например, степени двойки, и работает признак сравнения.

Шаг 1: $(1 + \frac{1}{n})^{n} \leq e_{n}$ . По биному Ньютона

(1 + \frac{1}{n})^{n} = 1 + (1 n) \frac{1}{n} + (2 n) \frac{1}{n ^{2}} + \dots + (n n) \frac{1}{n ^{n}} .

Заметим, что

(k n) \frac{1}{n ^{k}} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k ! n ^{k}} \leq \frac{1}{k !}

(в числителе $k$ множителей, каждый не больше $n$ ). Поэтому каждое слагаемое бинома не больше соответствующего слагаемого $e_{n}$ , и $(1 + \frac{1}{n})^{n} \leq e_{n}$ . Переходя к пределу, получаем

e \leq n \to \infty lim e_{n} = n = 0 \sum \infty \frac{1}{n !} .

Шаг 2: $e \geq e_{k}$ для каждого $k$ . Пусть $n \geq k$ . Отбрасывая в биномиальном разложении слагаемые с номерами больше $k$ , получаем

(1 + \frac{1}{n})^{n} \geq 1 + (1 n) \frac{1}{n} + \dots + (k n) \frac{1}{n ^{k}} .

Теперь устремим $n \to \infty$ при фиксированном $k$ . Несложное упражнение:

n \to \infty lim (1 + (1 n) \frac{1}{n} + \dots + (k n) \frac{1}{n ^{k}}) = e_{k},

потому что каждое слагаемое $(j n) \frac{1}{n ^{j}}$ стремится ровно к $\frac{1}{j !}$ . Например, при $j = 3$ :

(3 n) \frac{1}{n ^{3}} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{3 ! n ^{3}} = \frac{1}{3 !} (1 + O (\frac{1}{n})) ⟶ \frac{1}{3 !} .

Левая часть при этом стремится к $e$ , поэтому $e \geq e_{k}$ .

Устремляя $k \to \infty$ в шаге 2, получаем $e \geq \sum \frac{1}{n !}$ ; вместе с шагом 1 это даёт равенство.

Замечание (Радикальное объяснение). $e$ — это «количество всех конечных множеств с точностью до автоморфизма»: конечное множество размера $n$ ровно одно, а автоморфизмов у него $n!$ ; если считать с весами, получится $\sum \frac{1}{n !} = e$ . Может быть, это объясняет, почему $e$ повсюду возникает, — а может быть, и нет.

Утверждение.

e^{- 1} = 1 - 1 + \frac{1}{2 !} - \frac{1}{3 !} + \dots = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !} .

Доказательство. Во-первых, этот ряд сходится, и притом абсолютно: он мажорируется рядом для $e$ .

Перемножим его с рядом для $e$ по теореме о произведении рядов:

(n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}) \cdot (n = 0 \sum \infty \frac{1}{n !}) = n = 0 \sum \infty c_{n}, c_{n} = k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !} \cdot \frac{1}{( n - k )!} .

Посчитаем $c_{n}$ . Ясно, что $c_{0} = 1$ . При $n \geq 1$ в знаменателях стоят произведения факториалов — такая формула у нас уже есть:

c_{n} = \frac{1}{n !} k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n) = \frac{( 1 - 1 ) ^{n}}{n !} = 0

по биному Ньютона. Итак, свёртка — это ряд, который посчитать легче всего: единица и куча нулей,

(n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}) \cdot e = 1 + 0 + 0 + \dots = 1,

откуда сумма знакочередующегося ряда равна $e^{- 1}$ .

Замечание. В действительности выполнено гораздо более общее соотношение:

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + \dots

Надеюсь, это поможет вам порешать задачки из нового листка.