Анализ–1. Лекция 1

Анализ — раздел математики, изучающий такие сущности, как предел последовательности, непрерывные и дифференцируемые функции, пространства функций, бесконечные ряды. Зачем этим заниматься? Есть две мотивации — «ньютоновская» (эти основы понадобятся в других курсах) и «лейбницевская» (сам анализ знать полезно): без него легко начать допускать смешные ошибки.

Пример (почему нельзя бездумно группировать). Рассмотрим сумму

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots

Оставим первую единицу, а дальше сгруппируем слагаемые попарно:

1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \dots = 1 + 0 + 0 + \dots = 1.

А можно единицу не оставлять и группировать сразу:

(1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0 + 0 + \dots = 0.

Получили $0 = 1$ . Ответ «просто не нужно было группировать» неудовлетворителен: это не значит, что ни в каком ряде нельзя группировать слагаемые. Курс анализа учит строго обосновывать, когда такие операции законны, а когда нет.

Замечание. Попытка доказать классическое равенство для бесконечного ряда «чисто символьно», так, чтобы ни одна сходимость не пострадала, вполне может закончиться выведенным к трём часам ночи равенством $π^{2} = 0$ . Чтобы этого не случалось, нужно внимательно изучать математический анализ.

Хотя истоки анализа просматриваются ещё у древних греков, начнём с совсем современных по отношению к ним вещей — с теории множеств (конец XIX — начало XX века). Постараемся уложиться менее чем в одну лекцию: цель — лишь возникшее ощущение, что мы умеем манипулировать этими объектами.

Наивная теория множеств

Множество — это просто какой-то набор объектов. Это, конечно, не определение, а неформальное описание: чтобы определить лучше, нужен курс математической логики, а не анализа. Важно, что сами множества тоже являются объектами, то есть могут быть элементами других множеств.

Операции над множествами

Пусть $X$ и $Y$ — множества. Тогда определены:

Объединение $X \cup Y$ — множество, состоящее из всех элементов $X$ и всех элементов $Y$ .
Произведение

$X \times Y = {(x, y) ∣ x \in X, y \in Y}$

— множество упорядоченных пар.
Множество подмножеств

$2^{X} = {A ∣ A \subset X},$

то есть $A \in 2^{X} ⟺ A \subset X$ . Обозначение оправдано: если $∣ X ∣ = n$ , то $∣ 2^{X} ∣ = 2^{n}$ .
Выделение по свойству. Если $P$ — какое-нибудь свойство, можно образовать множество

${x \in X ∣ P (x)} .$

Здесь важно, что $x$ пробегает элементы уже имеющегося множества $X$ : если собирать множество просто из всех объектов, обладающих свойством, начнутся проблемы (об этом ниже).

Отображения

Определим множество отображений

X^{Y} = {f : Y \to X}

— все отображения из $Y$ в $X$ , то есть штуки, которые по элементу $Y$ выдают элемент $X$ . Его можно строго определить как подмножество в $2^{X \times Y}$ : отображение отождествляется со своим графиком, а график — это подмножество произведения, у которого «на каждой вертикальной прямой ровно одна точка»:

X^{Y} = {A \in 2^{X \times Y} ∣ \forall y \in Y \exists! x \in X : (x, y) \in A} .

Обозначение тоже оправдано: для конечных множеств $∣ X^{Y} ∣ = ∣ X ∣^{∣ Y ∣}$ . Кроме того, $2^{X}$ — это то же самое, что ${0, 1}^{X}$ : подмножеству отвечает функция, равная $1$ на его элементах и $0$ вне их.

TikZ diagram — Отображение как подмножество $A \subset X \times Y$ : над каждой точкой $y \in Y$ лежит ровно одна точка графика.

Отображения бывают разные.

Определение (Инъекция, сюръекция, биекция). Отображение $f : A ↪ B$ называется инъекцией, если

f (a_{1}) = f (a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2},

то есть разные элементы не склеиваются воедино.

Отображение $g : A ↠ B$ называется сюръекцией, если

\forall b \in B \exists a \in A : g (a) = b .

Биекция — отображение, являющееся одновременно инъекцией и сюръекцией.

Если между множествами есть биекция, они в каком-то смысле одинаковые. Это, конечно, отчасти грубая эквивалентность: одно множество может состоять из букв, а другое из цифр — объекты разной природы, — но ${1, 2, 3}$ и ${a, b, c}$ биективны друг другу как угодно.

Мощность множества

Определение (Равномощность). Множества $A$ и $B$ называются равномощными, если существует биекция $h : A \to B$ .

Несколько некорректно можно сказать, что кардинал (мощность) — это класс множеств по отношению «существует биекция». Некорректно потому, что говорить про множество всех множеств опасно, как мы увидим ниже; в основаниях математики есть способы обойти эту проблему, поэтому пока будем думать именно так.

Множества бывают конечные и бесконечные, и определение мощности учит нас, что бесконечности бывают разные. Некоторые далёкие от математики люди при этом заявлении падают в обморок — призываю вас сохранять самообладание.

Определение (Сравнение мощностей). Пишем $∣ A ∣ \geq ∣ B ∣$ , если существует инъекция $f : B ↪ A$ , то есть $B$ можно вложить в $A$ , не потеряв никакой информации.

Счётные множества

Определение (Счётно бесконечное множество). Множество $A$ называется счётно бесконечным, если $A$ равномощно $N$ .

Построить биекцию между $A$ и $N$ — то же самое, что занумеровать элементы $A$ : вот первый, вот второй, вот третий и так далее.

Пример (пары натуральных чисел).

∣ N \times N ∣ = ∣ N ∣.

Думаем про пары натуральных чисел как про точки клетчатой плоскости и обходим их по диагоналям, начиная из угла. Каждая диагональ конечна, поэтому до любой точки мы доберёмся за конечное число шагов — вот и нумерация. (Можно написать и явную формулу, но с картинкой легче.)

Пример (конечные слова). Пусть $A$ — конечный (или даже счётно бесконечный) алфавит. Тогда множество всех конечных слов в алфавите $A$ счётно: занумеруем сначала все слова из одной буквы, потом из двух и так далее. Слов каждой длины конечное число, поэтому до любого слова мы в конечном счёте доберёмся.

Бесконечное множество можно определять по-разному; например, так.

Определение (Бесконечное множество). Множество $A$ бесконечно, если $∣ A ∣ \geq ∣ N ∣$ , то есть в $A$ можно вложить натуральные числа.

Утверждение. $A$ бесконечно тогда и только тогда, когда существует инъекция $f : A ↪ A$ , не являющаяся биекцией.

Доказательство. Вложим $N$ в $A$ , будем сдвигать вложенные натуральные числа на единичку, а всё остальное не будем трогать. Получилась инъекция, не являющаяся сюръекцией.

Замечание. Это соответствует истории про Гильбертов отель: в отеле бесконечное число комнат, все заняты; приезжает новый жилец, всех немножко переселяют — и всё получается.

Теорема Кантора

Теорема (Кантор). Для любого множества $X$

∣ X ∣ < ∣ 2^{X} ∣,

где $<$ означает « $\leq$ и не равно».

Доказательство. Инъекция $X ↪ 2^{X}$ есть: каждый элемент отправим в соответствующее одноэлементное множество, $x \mapsto {x}$ . Значит, $∣ X ∣ \leq ∣ 2^{X} ∣$ , и осталось доказать, что биекции нет.

Пусть $f : X \to 2^{X}$ — любое отображение. Рассмотрим множество

Y = {x \in X ∣ x \in / f (x)} .

Если бы $f$ было сюръективно, нашлось бы $y \in X$ с $Y = f (y)$ . Тогда: если $y \in Y$ , то по определению $Y$ имеем $y \in / f (y) = Y$ — противоречие; если же $y \in / Y$ , то $y \in f (y) = Y$ — снова противоречие. Значит, никакое $f : X \to 2^{X}$ не сюръективно, и биекции нет.

Пример (континуум). Первый пример несчётного множества: $2^{N}$ . Про его элементы можно думать как про подмножества натуральных чисел, а можно — как про бесконечные последовательности нулей и единиц. Из такой последовательности можно сделать вещественное число (бесконечную двоичную запись), поэтому мощность $∣ 2^{N} ∣$ называется континуумом: она равна мощности множества вещественных чисел. Разные последовательности иногда отвечают одному и тому же числу, но таких коллизий счётное количество, и их можно повыкидывать (см. листок).

Замечание (парадокс Рассела). Доказательство теоремы Кантора очень похоже на парадокс Рассела. Если бы существовало множество всех множеств — или если бы мы умели строить множество из всех объектов с данным свойством, — можно было бы рассмотреть множество всех множеств, не являющихся своими элементами. Тогда всё бы сломалось ровно по той же схеме, что и выше. Поэтому так делать нельзя: свойство выделяет подмножество только в уже имеющемся множестве.

В этом курсе бесконечные мощности будут, как правило, либо счётные, либо континуальные, либо в крайнем случае чуть-чуть «гиперконтинуальные», типа $2^{2^{N}}$ (например, множество всех функций $R \to R$ ; если рассматривать только непрерывные, проблема исправляется).

Теорема Кантора–Бернштейна

Полезное свойство для сравнения размеров множеств.

Теорема (Кантор–Бернштейн). Если $∣ A ∣ \leq ∣ B ∣$ и $∣ B ∣ \leq ∣ A ∣$ , то $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ .

Доказательство. Пусть $f : A ↪ B$ и $g : B ↪ A$ — инъекции. Будем говорить, что $y \in B$ — предшественник элемента $x \in A$ , если $g (y) = x$ ; аналогично $x \in A$ — предшественник $y \in B$ , если $f (x) = y$ . Предшественник существует не всегда (мы требовали инъективность, но не сюръективность), но если существует, то ровно один (по инъективности).

Возьмём любой элемент $A$ и посмотрим на самую длинную цепочку предшественников, которую он допускает: предшественник, предшественник предшественника и так далее, прыгая попеременно между $A$ и $B$ . Иногда процесс никогда не прекращается, иногда мы утыкаемся в элемент без предшественников. Положим:

$A_{k}$ ( $k = 0, 1, 2, \dots$ ) — элементы $A$ , у которых самая длинная цепочка предшественников имеет длину ровно $k$ (сам элемент не считаем);
$A_{\infty}$ — элементы, у которых цепочку можно продолжать бесконечно.

Аналогично определяются $B_{k}$ и $B_{\infty}$ . Заметим:

$f : A_{\infty} \to B_{\infty}$ — биекция. Инъективность автоматическая; сюръективность: у элемента $B_{\infty}$ прообраз лежит в $A$ и имеет бесконечную цепочку предшественников.
$f$ осуществляет биекцию между $A_{k}$ и $B_{k + 1}$ , а $g$ — между $B_{k}$ и $A_{k + 1}$ (применение $f$ удлиняет цепочку ровно на один шаг).

Теперь построим биекцию $φ : A \to B$ :

φ (x) = {f (x), g^{- 1} (x), x \in A_{2 k} или x \in A_{\infty}, x \in A_{2 k + 1} .

Словами: $f (x)$ , если самая длинная цепочка предшественников имеет чётную длину (бесконечность считаем чётным числом), и $g^{- 1} (x)$ , если нечётную. Значение $g^{- 1} (x)$ определено: у элемента с нечётной (в частности, ненулевой) цепочкой предшественник есть. По замечаниям выше $f$ биективно переводит $A_{2 k}$ в $B_{2 k + 1}$ и $A_{\infty}$ в $B_{\infty}$ , а $g^{- 1}$ биективно переводит $A_{2 k + 1}$ в $B_{2 k}$ ; вместе эти куски покрывают всё $B$ ровно по одному разу, поэтому $φ$ — биекция.

Это полезный инструмент: чтобы доказать равномощность двух множеств, достаточно предъявить две инъекции навстречу друг другу.

Упорядоченные множества

Добавим в множество ещё одну структуру: научимся сравнивать, какие элементы больше, а какие меньше.

Отношение на множестве $A$ — это подмножество в декартовом квадрате $A \times A$ : по паре элементов можно сказать, состоят они в этом отношении или нет. Типичный пример отношения порядка — «иметь меньший рост» на множестве людей.

Определение (Отношение порядка). Отношение $\leq$ на $A$ называется (нестрогим) порядком, если выполнены три свойства (с растущим количеством переменных):

$x \leq x$ — рефлексивность;
если $x \leq y$ и $y \leq x$ , то $x = y$ — антисимметричность;
если $x \leq y$ и $y \leq z$ , то $x \leq z$ — транзитивность.

Определение (Линейно упорядоченное множество). Упорядоченное множество линейно упорядочено, если любые два элемента сравнимы.

Пример. Порядок бывает и нелинейным. Скажем, на множестве людей объявим, что один больше другого, если он и выше, и нос у него длиннее. Наверняка есть люди, которые выше меня, но у которых нос короче, — с ними мы несравнимы.

Определение (Вполне упорядоченное множество). Упорядоченное множество $A$ вполне упорядочено, если у любого непустого подмножества $B \subset A$ существует наименьший элемент, то есть элемент, который $\leq$ всех элементов $B$ .

Это довольно нетривиальное свойство, что легко увидеть, если попробовать ввести полный порядок на вещественной прямой (если не пробовали — попробуйте). Даже счётных вполне упорядоченных множеств бывает много интересных: не только $N$ , но и, например, $N$ с искусственно добавленной бесконечностью, которая больше всех.

Итого упорядоченные множества бывают трёх видов: ЧУМы, ЛУМы и ВУМы (частично, линейно и вполне упорядоченные).

Аксиома выбора, теорема Цермело и лемма Цорна

Есть три нетривиальных утверждения — одна аксиома, одна теорема и одна лемма, — и оказывается, что все они друг другу эквивалентны. Они понадобятся позже, когда займёмся более абстрактными вещами (Хан–Банах, Тихонов и тому подобное).

Аксиома выбора. Для любого множества $X$ существует функция

f : 2^{X} ∖ {\emptyset} ⟶ X такая, что f (A) \in A .

По-человечески: можно организовать функцию, которая из любого непустого подмножества выбирает элемент. Звучит совершенно безобидно.

Замечание. Аксиома выбора часто приводит к интересным явлениям: многие контрпримеры в анализе на неё опираются, и чем сильнее опираются, тем более дикие получаются контрпримеры. С другой стороны, в алгебре страшно становится без аксиомы выбора: например, без неё не у всякого векторного пространства есть базис. Так, на мой взгляд, жить трудновато.

Теорема (Цермело). Для любого множества $X$ существует порядок $\leq$ такой, что $(X, \leq)$ — вполне упорядоченное множество.

То есть всякое множество можно вполне упорядочить. Это звучит уже гораздо сильнее — особенно если вы хоть раз пробовали вполне упорядочить вещественные числа.

Прежде чем формулировать лемму Цорна, уточним термины.

Определение (Цепь). Цепь в упорядоченном множестве — это подмножество, которое в индуцированном порядке линейно упорядочено, то есть подмножество, в котором любые два элемента сравнимы.

Определение (Наибольший и максимальный элементы). Элемент $x$ упорядоченного множества $A$ — наибольший, если $x \geq y$ для любого $y \in A$ ; максимальный, если для любого $y \in A$ либо $x \geq y$ , либо $x$ и $y$ несравнимы (то есть никто не больше $x$ ).

Наибольший элемент может быть только один, а максимальных — сколько угодно.

Лемма (Цорн). Пусть $A$ — непустое упорядоченное множество (не обязательно линейно), в котором у любой цепи есть верхняя грань: элемент, который $\geq$ всех элементов цепи. Тогда в $A$ есть максимальный элемент.

Теорема. Аксиома выбора $⟺$ теорема Цермело $⟺$ лемма Цорна.

Эта теорема оставлена без номера: лектор не нумерует теоремы, которые не доказывает подробно, потому что ему совестно. Проговорим одну тривиальную эквивалентность и укажем, как делается самая сложная; средняя по сложности — упражнение на подумать.

Доказательство. Из теоремы Цермело следует аксиома выбора. Очень легко: возьмём наше множество, вполне упорядочим и из каждого непустого подмножества выберем наименьший элемент. Конец.

Из аксиомы выбора следует лемма Цорна (набросок). Идея: при помощи некоторого процесса построить цепь, которая будет слишком длинной для того, чтобы иметь верхнюю грань.

Предположим, что для непустого упорядоченного множества $A$ лемма Цорна неверна: максимальных элементов нет. Тогда (аксиома выбора) существует функция

f : A \to A, f (x) > x

(запись $x > y$ означает « $\geq$ и не равно»). Далее, пусть $C$ — множество всех цепей в $A$ . По условию у каждой цепи есть верхняя грань, поэтому (снова аксиома выбора) существует функция

g : C \to A, g (Y) — верхняя грань цепи Y,

причём можно добиться того, чтобы $g (Y) \in / Y$ : сначала возьмите какую-нибудь верхнюю грань, а потом примените к ней $f$ — получится элемент ещё больше, который в цепи уже не лежит.

Назовём цепь $Y$ хорошей, если $Y$ вполне упорядочена и для любого $y \in Y$

g (S_{y}) = y, S_{y} = {y^{'} \in Y ∣ y^{'} < y}

( $S_{y}$ — начальный отрезок цепи до $y$ ). Хорошие цепи бывают: например, одноэлементная цепь ${g (\emptyset)}$ . Ключевое замечание: если $Y$ и $Y^{'}$ — хорошие цепи, то одна из них является начальным отрезком другой; не может быть, что они «не имеют отношения друг к другу» (техническую проверку — что у двух хороших цепей не может быть одновременно нетривиальных дополнений друг до друга — здесь опустим).

Теперь возьмём объединение всех хороших цепей. Оно оказывается тоже хорошей цепью $Y^{*}$ (объединение законно: всё происходит внутри подмножеств одного множества $A$ ). Но тогда $Y^{*} \cup {g (Y^{*})}$ — снова хорошая цепь, строго большая, чем объединение всех хороших цепей. Противоречие.

Из леммы Цорна следует теорема Цермело — упражнение; оно не такое сложное, как предыдущий пункт.

Сравнимость мощностей

Когда изучаешь коммутативную алгебру, из леммы Цорна моментально получают, что любой идеал содержится в максимальном. Извлечём и мы какое-нибудь следствие, оставаясь в рамках теории множеств: любые два множества можно сравнить по размеру.

Следствие. Для любых множеств $A$ и $B$ либо $∣ A ∣ \leq ∣ B ∣$ , либо $∣ B ∣ \leq ∣ A ∣$ (может быть и то и другое сразу, но не может быть, что ни то ни другое).

Доказательство. Построим по $A$ и $B$ частично упорядоченное множество

P = {(C, f) ∣ C \subset A, f : C ↪ B — инъекция} .

Оно непусто: из пустого множества есть пустое отображение, которое, конечно, инъективно (даже если $B$ пусто). Порядок такой:

(C, f) \geq (C_{1}, f_{1}) ⟺ C_{1} \subset C и f_{C_{1}} = f_{1},

то есть, во-первых, порядок соблюдён на уровне множеств, а во-вторых, бо́льшая инъекция при ограничении на меньшее множество совпадает с меньшей.

Любая цепь ${(C_{i}, f_{i})}_{i \in I}$ в $P$ имеет верхнюю грань: возьмём $⋃_{i} C_{i}$ и объединение всех $f_{i}$ (у отображений можно брать объединение графиков; элемент объединения лежит в каком-то $C_{i}$ — применим к нему $f_{i}$ , и по свойству цепи результат не зависит от выбора $i$ ).

По лемме Цорна в $P$ есть максимальный элемент $(C, f)$ , $f : C ↪ B$ . Варианты:

$f$ сюръективно. Тогда $f^{- 1} : B \to A$ — инъекция (разные элементы не склеивались, и все элементы $B$ забиты нашим $C$ ), значит, $∣ B ∣ \leq ∣ A ∣$ .
$f$ не сюръективно и $C = A$ . Победа: $f$ — инъекция из $A$ в $B$ , то есть $∣ A ∣ \leq ∣ B ∣$ .
$f$ не сюръективно и $C \neq = A$ . Возьмём элемент $a \in A ∖ C$ и элемент $b \in B$ , не лежащий в образе $f$ , и доопределим $f (a) = b$ . Получится снова инъекция, строго большая $(C, f)$ , — противоречие с максимальностью.

Даже на уровне элементарной теории множеств лемма Цорна весьма пригождается, а дальше будет пригождаться ещё больше.

На этом экскурс в теорию множеств завершён; таких вещей в ближайшее время на курсе не будет. Дальше — про вещи более приземлённые: пределы последовательностей.

$O$ большое и $o$ малое

Введём нотацию, тоже относительно современную: её создали Пауль Бахман и Эдмунд Ландау, и появилась она, как ни странно, впервые в книгах по теории чисел. Пусть $(a_{n})$ — последовательность рациональных чисел (для вещественных всё в точности так же); пока говорим про $O$ большое и $o$ малое «от единицы».

Определение (Ограниченная последовательность). $a_{n} = O (1)$ , если существует константа $C$ такая, что

∣ a_{n} ∣ \leq C для любого n .

Словами: ограниченная последовательность.

Определение (Бесконечно малая последовательность). $a_{n} = o (1)$ при $n \to \infty$ , если

\forall ε > 0 \exists N : ∣ a_{n} ∣ \leq ε для любого n \geq N .

Словами: для сколь угодно маленького числа существует такой большой номер, начиная с которого последовательность меньше этого числа. Такая последовательность называется бесконечно малой (она стремится к нулю).

Определение (Предел последовательности).

n \to \infty lim a_{n} = a, если a_{n} = a + o (1) при n \to \infty.

Пример (числа Фибоначчи). Пусть $F_{0} = F_{1} = 1$ , а дальше каждое следующее число — сумма двух предыдущих: $2, 3, 5, 8, 13, \dots$ Сама последовательность $F_{n}$ — не $O (1)$ : она не ограничена никакой константой. А вот отношение соседних

\frac{F _{n + 1}}{F _{n}} = O (1) :

последовательность $F_{n}$ не убывает, поэтому $F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1} \leq 2 F_{n}$ , и отношение не больше двойки. Можно сказать точнее:

\frac{F _{n + 1}}{F _{n}} = \frac{1 + 5}{2} + o (1) (n \to \infty),

то есть отношение соседних чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению (легко доказать по индукции).

Пример. $O$ большое пишут не только от единицы: например, $n = O (n^{2})$ при $n \geq 1$ , потому что $0 \leq n \leq n^{2}$ , и константу можно взять равной единице.

Замечание (свойства и).

$o (1) = O (1)$ — в том смысле, что если $a_{n} = o (1)$ , то $a_{n} = O (1)$ . Не в том смысле, что эти вещи совпадают: в обратную сторону неверно, $O (1)$ не есть $o (1)$ .
$o (1) + o (1) = o (1)$ : для каждой последовательности найдём место, начиная с которого она меньше $ε /2$ , и сложим.
$O (1) + O (1) = O (1)$ , и $O (1) + o (1) = O (1)$ .
$o (1) \cdot O (1) = o (1)$ .

Утверждение. Если $a_{n} = c + o (1)$ и $c \neq = 0$ , то $\frac{1}{a _{n}} = O (1)$ при больших $n$ : последовательность, сходящаяся к чему-то ненулевому, начиная с какого-то момента отделена от нуля.

Замечание. Иногда уместен ещё символ «тильдочка»: $f \sim g$ означает, что $f / g \to 1$ . Вот одна такая асимптотика, которой я амбициозно планирую вас научить в этом семестре, — формула Стирлинга:

n! \sim 2 π n (\frac{n}{e})^{n} (n \to \infty) .

У этого факта много глубоких следствий; например, $2 π$ здесь равен (с точностью до степени) регуляризованному детерминанту лапласиана на прямой — что бы это ни значило. Одна из целей семестра — рассказать все пререквизиты и демистифицировать эту формулу, в частности объяснить, откуда берётся $2 π$ .

Предупреждение

При решении листков формулой Стирлинга пользоваться нельзя — иначе вас заставят её доказывать.

Вещественные числа

Натуральные числа можно определить аксиоматически или просто поверить, что они существуют, и как-нибудь с этим жить. С вещественными числами сложнее (вспомните пример про $π^{2} = 0$ из начала лекции), поэтому их нужно аккуратно определить.

Фундаментальные последовательности

Мы все любим найти какое-нибудь понравившееся свойство и как-нибудь его обозвать.

Определение (Фундаментальная последовательность). Последовательность $(a_{n})$ фундаментальна, если

\forall ε > 0 \exists N : ∣ a_{n} - a_{m} ∣ < ε для любых n, m \geq N .

Утверждение. Если $n \to \infty lim a_{n} = a$ , то $(a_{n})$ фундаментальна.

Заметьте: свойство фундаментальности не зависит от $a$ , в нём участвует только сама последовательность. Через $o$ малое его можно переписать так:

m \geq n sup ∣ a_{n} - a_{m} ∣ = o (1) (n \to \infty) .

В рациональных числах есть своего рода дыры: можно организовать фундаментальную последовательность рациональных чисел, которая сходится не к рациональному числу. Если все эти дыры заделать, получится множество вещественных чисел.

Определение вещественных чисел

Определение (Вещественные числа). $R$ — это классы эквивалентности фундаментальных последовательностей из элементов $Q$ , где

(a_{n}) \sim (b_{n}) ⟺ a_{n} - b_{n} = o (1) .

То есть вещественное число — это, в каком-то смысле, просто предел какой-то последовательности рациональных чисел; два вещественных числа одинаковы, если разность соответствующих последовательностей стремится к нулю.

Следствие (из свойств $O$ и $o$ ). $R$ — поле: в нём можно складывать и умножать со всеми положенными свойствами (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность) и делить на всё, что не ноль.

Доказательство. Замечания о свойствах $O$ и $o$ нужны были ровно для этого.

Сложение. Чтобы сложить $a, b \in R$ , возьмём последовательности $(a_{n}) \to a$ , $(b_{n}) \to b$ и положим $a + b$ равным классу $(a_{n} + b_{n})$ . Свойство $o (1) + o (1) = o (1)$ используется дважды: чтобы сумма была фундаментальной последовательностью и чтобы результат не зависел от выбора представителей.

Умножение. То же самое, но нужны более сильные утверждения: сходящаяся последовательность есть $O (1)$ , и $o (1) \cdot O (1) = o (1)$ . Действительно, $a_{n} = a + o (1)$ , $b_{n} = b + o (1)$ , и при перемножении возникают члены вида $a \cdot o (1)$ и $o (1) \cdot O (1)$ — все они $o (1)$ .

Деление. Дополнительно используется отделённость от нуля: если последовательность сходится к чему-то ненулевому, то единица делить на неё ограничена. По той же причине можно обращать ненулевые элементы.

Замечание (-адические числа). Кроме вещественных чисел, в курсе я надеюсь затронуть $p$ -адические. Вещественное число можно записывать в двоичной записи — это выражения вида

a_{n} 2^{n} + a_{n - 1} 2^{n - 1} + \dots,

где степени идут по убыванию. Двоично-адические ( $2$ -адические) числа пойдут наоборот:

a_{0} + 2 a_{1} + 4 a_{2} + 8 a_{3} + \dots, a_{i} \in {0, 1},

и там можно придать смысл равенству

1 + 2 + 4 + 8 + \dots = - 1,

которое в вещественных числах глубоко неверно, а в $2$ -адических — просто точное равенство. Строятся они ровно так же, через фундаментальные последовательности, только вместо обычного модуля рационального числа берётся $2$ -адический: степени двойки $1, 2, 4, 8, \dots$ тем меньше, чем больше показатель, а, например, $1/1024$ — довольно большое число ( $2$ -адическая норма равна $1024$ ). Двойку можно заменить на любое простое число; надеюсь также обсудить (или вставить в листок) теорему Островского о том, что ничего, кроме этого, не бывает.

Замечание (десятичные записи). Если последовательность рациональных чисел сходится, то последовательность знаков их десятичных записей стабилизируется — с точностью до одной поправки: сходясь к десятично-рациональному числу, знаки могут вести себя как $0, 98, 0, 998, \dots$ , а потом перескочить на $1, 0 \dots$ Последовательность стабилизировавшихся знаков и называется десятичной записью вещественного числа. Записи рациональных чисел периодичны, всех остальных — непериодичны, а больше не известно почти ничего: скажем, все ли конечные последовательности цифр встречаются с правильной частотой в десятичном разложении числа $π$ — очень широко открытый вопрос. Поэтому буквальная работа с десятичными записями может вызывать проблемы; впрочем, это верно про любую простую систему записи — чисел очень много.

Мощность множества вещественных чисел

Утверждение. $R$ имеет мощность континуум.

Доказательство. Сначала покажем, что отрезок $[0, 1]$ равномощен $2^{N}$ . Каждому числу можно сопоставить его двоичную запись — это инъекция $[0, 1] ↪ 2^{N}$ (при коллизиях вида $0, 0111 \dots = 0, 1000 \dots$ выбираем каноническую запись), поэтому $∣ [0, 1] ∣ \leq ∣ 2^{N} ∣$ . В обратную сторону: не все двоичные последовательности задают разные числа, но коллизии происходят только на двоично-рациональных числах, которых счётное количество. Выкинув из $2^{N}$ счётное множество последовательностей, отвечающих таким числам, получаем инъекцию в $[0, 1]$ ; а если из несчётного множества выкинуть счётное, получится множество той же мощности (см. листок). По теореме Кантора–Бернштейна $∣ [0, 1] ∣ = ∣ 2^{N} ∣$ .

Теперь $∣ R ∣ = ∣ [0, 1] ∣$ . В одну сторону очевидно: в отрезке не больше элементов, чем в $R$ . В другую — предъявим инъекцию $R ↪ [0, 1]$ . Отображение

x ⟼ \frac{x}{1 + ∣ x ∣}

— биекция $R$ на интервал $(- 1, 1)$ : знак восстанавливается однозначно, а при одинаковых знаках равенство $\frac{x}{1 + ∣ x ∣} = \frac{y}{1 + ∣ y ∣}$ после раскрытия скобок даёт $x = y$ . Остаётся сдвинуть на единицу и поделить пополам: $x \mapsto \frac{1}{2} (\frac{x}{1 + ∣ x ∣} + 1)$ . По Кантору–Бернштейну $R$ равномощно $[0, 1]$ , то есть имеет мощность континуум.

Вот такое континуальное множество, с которым нам жить все три семестра. С $p$ -адическими числами будет ровно то же самое.

Полнота

По определению фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к вещественному числу. А что, если фундаментальная последовательность состоит из вещественных чисел? Она тоже сходится к вещественному числу — но сначала лемма.

Плотность рациональных чисел

Лемма (плотность в). Для любого $x \in R$ и любого натурального $n$ существует рациональное $r$ такое, что

∣ x - r ∣ < \frac{1}{n} .

Доказательство. Возьмите последовательность рациональных чисел, которая сходится к $x$ , и возьмите в ней достаточно далёкий элемент: он будет достаточно близок к $x$ и рационален.

Это свойство называется плотностью: рядом с любым вещественным числом можно найти рациональное, $Q$ всюду плотно в $R$ .

Замечание. Бывают и более экзотические множества, плотные в $R$ : например, множество всех чисел вида $x + y 2$ , где $x, y$ — целые.

Сходимость фундаментальных последовательностей

Теорема (полнота). Если $(a_{n})$ — фундаментальная последовательность вещественных чисел, то $a_{n}$ сходится к элементу $R$ .

Доказательство. По плотности для каждого $n$ существует рациональное $b_{n}$ такое, что

∣ a_{n} - b_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} .

Утверждается, что последовательность $(b_{n})$ фундаментальна. Действительно, пусть $n$ и $m$ большие; тогда

∣ b_{n} - b_{m} ∣ \leq ∣ b_{n} - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} - a_{m} ∣ + ∣ a_{m} - b_{m} ∣ \leq \frac{1}{n} + ∣ a_{n} - a_{m} ∣ + \frac{1}{m} .

Возьмём $n$ и $m$ такими большими, чтобы каждое из трёх слагаемых было меньше $ε /3$ , — получится меньше $ε$ . Здесь использовано, что любое вещественное число меньше какого-нибудь натурального (всякая сходящаяся последовательность ограничена); это свойство называется архимедовостью.

Итак, $(b_{n})$ — фундаментальная последовательность рациональных чисел; она определяет вещественное число $a$ . Так как $∣ a_{n} - b_{n} ∣ \leq 1/ n = o (1)$ , последовательность $a_{n}$ сходится к тому же $a$ .

Это означает, что процесс взятия классов эквивалентности фундаментальных последовательностей залатал в $Q$ все дыры — и новых дыр не появилось. Иногда бывает, что от пополнения хочется ещё каких-нибудь дополнительных свойств, и приходится делать забавные вещи: пополнять, потом делать что-нибудь алгебраическое, потом пополнять то, что получилось. Здесь, к счастью, ничего такого не понадобилось.

Точная верхняя грань

Определение (Верхняя грань). Верхняя грань множества $A \subset R$ — это элемент $x \in R$ такой, что $x \geq a$ для любого $a \in A$ . Если множество не ограничено сверху, верхних граней у него нет.

Определение (Точная верхняя грань). Точная верхняя грань $sup A$ — наименьшая верхняя грань множества $A$ . Точная нижняя грань — то же самое со всеми знаками в обратную сторону; она обозначается $in f A$ и называется инфимум.

Важно: инфимум, не «инфинум».

Теорема (о точной верхней грани). Если непустое множество $A \subset R$ ограничено сверху, то $sup A$ существует.

Доказательство. Построим последовательность, которая сойдётся к точной верхней грани.

Положим $x_{0}$ равным минимальному целому числу, являющемуся верхней гранью $A$ (оно существует: верхняя грань есть, а множество $A$ непусто, поэтому целые верхние грани ограничены снизу). Дальше, если $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ уже построены и все являются верхними гранями, положим

x_{n + 1} = {x_{n} - 2^{- (n + 1)}, x_{n} если это всё ещё верхняя грань A, иначе .

Иначе говоря, $x_{n + 1}$ — максимальный из этих двух элементов, являющийся верхней гранью.

Последовательность $(x_{n})$ фундаментальна: начиная с номера $n$ элементы отличаются не больше чем на хвост геометрической прогрессии

k > n \sum 2^{- k} = 2^{- n},

а бесконечная геометрическая прогрессия сходится. Значит, существует $x = n \to \infty lim x_{n}$ .

$x$ — верхняя грань. Каждый $x_{n}$ — верхняя грань; предположим, нашлось $a \in A$ с $a > x$ . Тогда $x$ можно чуть-чуть пошевелить вверх так, чтобы оно всё ещё было меньше $a$ ; но мы каждый раз вычитаем какую-то мелочь, поэтому чуть-чуть сдвинутое вверх $x$ окажется больше какого-то из $x_{n}$ — противоречие с тем, что $x_{n}$ — верхняя грань. (Здесь использовано, что предел неотрицательной последовательности неотрицателен.)

$x$ — наименьшая верхняя грань. Предположим, что $x - δ$ при некотором $δ > 0$ — тоже верхняя грань. Тогда и $x$ минус какая-то степень двойки является верхней гранью, а это значит, что на каком-то этапе построения мы «не довычли»: обязаны были вычесть $2^{- (n + 1)}$ , но не сделали этого. Противоречие.

Подробности последнего шага — в следующей лекции.

Верхняя грань пустого множества по соглашению равна $- \infty$ — так же, как произведение пустого набора элементов равно единице.