Линейные пространства

В школьной планиметрии и стереометрии вектором (или свободным вектором) называется класс эквивалентности направленных отрезков на плоскости или в пространстве. При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

Операции сложения векторов по правилу параллелограмма или треугольника и умножения векторов на вещественные числа обладают рядом свойств, аксиоматизация которых приводит к понятию линейного пространства.

Мы определим линейное пространство над произвольным полем $k$ , элементы которого мы часто будем называть числами или скалярами. На первых порах можно считать, что $k$ — поле вещественных чисел $R$ . Со временем нам понадобятся поле комплексных чисел $C$ и поле рациональных чисел $Q$ , а также конечные поля.

1.1. Определение и примеры

Определение (1.1). Линейным (или векторным) пространством над полем $k$ называется множество $V$ с заданными на нём операциями сложения

+ : V \times V \to V, (u, v) \mapsto u + v,

и умножения

\cdot : k \times V \to V, (λ, v) \mapsto λ \cdot v,

которые удовлетворяют следующим условиям:

$u + v = v + u$ для любых $u, v \in V$ ;
$(u + v) + w = u + (v + w)$ для любых $u, v, w \in V$ ;
существует такой элемент $0 \in V$ , что $v + 0 = v$ для любого $v \in V$ ;
для любого $v \in V$ существует такой элемент $- v \in V$ , что

$v + (- v) = 0;$
$λ \cdot (u + v) = λ \cdot u + λ \cdot v$ для любых $u, v \in V$ , $λ \in k$ ;
$(λ + μ) \cdot v = λ \cdot v + μ \cdot v$ для любых $v \in V$ , $λ, μ \in k$ ;
$λ \cdot (μ \cdot v) = (λ μ) \cdot v$ для любых $v \in V$ , $λ, μ \in k$ ;
$1 \cdot v = v$ для любого $v \in V$ .

Элементы линейного пространства называются векторами. Свойства 1)–4) означают, что $V$ является абелевой (коммутативной) группой относительно операции сложения. Элемент $0$ называется нулевым вектором, а элемент $(- v)$ называется противоположным вектором к $v$ .

Свойства 5)–8) означают, что поле $k$ линейно действует на $V$ . Обычно мы будем опускать знак умножения $\cdot$ .

Далее говоря о пространстве мы будем иметь в виду линейное пространство. Вот некоторые простейшие свойства линейных пространств.

Предложение 1.2.

a) $0 v = λ 0 = 0$ для любых $v \in V$ , $λ \in k$ ;

b) $(- 1) v = - v$ для любого $v \in V$ ;

c) если $λ v = 0$ , то либо $λ = 0$ , либо $v = 0$ .

Доказательство. Докажем а). Действительно,

0 v + 0 v = (0 + 0) v = 0 v,

откуда $0 v = 0$ по свойству сокращения в абелевой группе. Аналогично,

λ 0 + λ 0 = λ (0 + 0) = λ 0,

т.е. $λ 0 = 0$ .

Пример (1.3).

Множество ${0}$ , состоящее из одного элемента $0$ , является линейным пространством над любым полем.
Множества векторов на прямой, на плоскости, в пространстве, являются линейными пространствами над полем $R$ .
Любое поле $k$ является векторным пространством над самим собой.
Поле $C$ является линейным пространством над полем $R$ , а поле $R$ является линейным пространством над полем рациональных чисел $Q$ . Более общо, если $k_{1}$ вложено в $k_{2}$ (т.е. $k_{2}$ является расширением поля $k_{1}$ ), то $k_{2}$ является линейным пространством над $k_{1}$ .
Пусть

$k^{n} := {(x_{1}, \dots, x_{n}) : x_{i} \in k}$

— множество последовательностей (строк) фиксированной длины $n$ из элементов поля $k$ . Операции покомпонентного сложения и умножения на скаляр, т.е.

$(x_{1}, \dots, x_{n}) + (y_{1}, \dots, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, \dots, x_{n} + y_{n}),$

$λ (x_{1}, \dots, x_{n}) := (λ x_{1}, λ x_{2}, \dots, λ x_{n}),$

задают на $k^{n}$ структуру линейного пространства над $k$ . Оно называется $n$ -мерным координатным (или арифметическим) пространством над $k$ . Мы в основном будем иметь дело с пространствами $R^{n}$ и $C^{n}$ .

При $n = 1$ мы получаем пространство из примера 3.
Множество функций на произвольном множестве $X$ со значениями в поле $k$ , обозначаемое

$k^{X},$

является линейным пространством относительно операций поточечного сложения (т.е. значение функции $f + g$ в точке $x \in X$ полагается равным $f (x) + g (x)$ ) и поточечного умножения на скаляр (т.е. $(λ f) (x) = λ f (x)$ ). В случае, когда $X$ — конечное множество из $n$ элементов, мы получаем пространство $k^{n}$ из предыдущего примера.
Множество $C (R)$ непрерывных функций на вещественной прямой и множество $C ([a, b])$ непрерывных функций на отрезке являются линейными пространствами над $R$ . Также линейными пространствами являются множества дифференцируемых функций (на прямой или на отрезке).
Множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством.
Рассмотрим множество

$R^{\infty} := {x = (x_{1}, x_{2}, \dots)}$

бесконечных последовательностей вещественных чисел, в которых лишь конечное число членов отлично от нуля (такие последовательности называются финитными). Тогда $R^{\infty}$ — линейное пространство относительно операций покомпонентного сложения и умножения на число. Пространство $R^{\infty}$ можно отождествить с бесконечным объединением

$n \geq 0 ⋃ R^{n} .$

Пространство всех бесконечных последовательностей также является линейным пространством.
Множество $k [x]$ многочленов от одной переменной с коэффициентами из $k$ является линейным пространством. Также линейным пространством является множество

$k_{n} [x]$

многочленов степени не выше $n$ .
Множество всех матриц размера $m \times n$ с элементами из $k$ образует линейное пространство

$Mat_{k} (m, n)$

относительно операций сложения матриц и поэлементного умножения матриц на числа. При $m = 1$ мы получаем пространство строк $k^{n}$ .

В предыдущих примерах мы столкнулись с ситуацией, когда подмножество линейного пространства само является линейным пространством. Это приводит к следующему определению.

Определение (1.4). Подмножество $W \subset V$ линейного пространства $V$ называется подпространством, если для любых векторов $u, v \in W$ и скаляра $λ \in k$ мы имеем

u + v \in W и λ u \in W .

Другими словами, $W$ — подпространство, если $W$ само является линейным пространством относительно операций, заданных в пространстве $V$ .

Пример (1.5). Вот некоторые примеры подпространств.

${0}$ является подпространством в любом пространстве $V$ .
Множество векторов, коллинеарных заданному вектору, является подпространством в пространстве всех векторов на плоскости или в пространстве.
Пространство $C (R)$ непрерывных функций является подпространством в пространстве $R^{R}$ всех функций на $R$ .
Пространство $R^{\infty}$ финитных последовательностей является подпространством в пространстве всех последовательностей.
$k_{n} [x]$ является подпространством в $k_{m} [x]$ при $m \geq n$ , а также в $k [x]$ .

1.2. Линейная зависимость. Базис. Размерность

Пусть $V$ — линейное пространство над полем $k$ .

Определение (1.6). Линейной комбинацией системы векторов $v_{1}, \dots, v_{k}$ пространства $V$ называется сумма вида

λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k},

где $λ_{i} \in k$ .

Линейной комбинацией бесконечной системы векторов ${v_{i} : i \in I}$ называется сумма вида

i \in I \sum λ_{i} v_{i},

в которой лишь конечное число скаляров $λ_{i}$ отлично от нуля.

Линейная комбинация

i \in I \sum λ_{i} v_{i}

называется тривиальной, если в ней все коэффициенты $λ_{i}$ равны нулю.

Линейной оболочкой системы векторов ${v_{i} : i \in I}$ называется множество всех линейных комбинаций этой системы. Для линейной оболочки используется обозначение

⟨ v_{i} : i \in I ⟩ или ⟨ v_{1}, \dots, v_{k} ⟩ в случае конечной системы .

Система векторов ${v_{i} : i \in I}$ (конечная или бесконечная) называется линейно зависимой, если существуют числа $λ_{i}$ , не все равные нулю, такие, что

i \in I \sum λ_{i} v_{i} = 0,

(т.е. существует нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная нулю).
В противном случае система называется линейно независимой.

Предложение 1.7. Линейная оболочка $⟨ v_{i} : i \in I ⟩$ является линейным подпространством $V$ . Более того, $⟨ v_{i} : i \in I ⟩$ является наименьшим по включению линейным подпространством, содержащим систему ${v_{i} : i \in I}$ .

Доказательство. Сумма векторов системы и результат умножения вектора системы на скаляр являются линейными комбинациями и потому принадлежат линейной оболочке.

В пространстве $k_{n} [x]$ многочленов степени $\leq n$ имеется базис из одночленов
$1, x, x^{2}, \dots, x^{n}$ . Таким образом, $dim k_{n} [x] = n + 1$ . В пространстве $k [x]$ всех многочленов имеется бесконечный базис из одночленов $1, x, x^{2}, x^{3}, \dots$ всех степеней. Таким образом, $dim k [x] = \infty$ .
В пространстве финитных последовательностей $R^{\infty}$ имеется бесконечный базис
$e_{1}, e_{2}, \dots$ , где $e_{i} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)$ — последовательность, в которой на $i$ -м месте стоит 1, а на остальных местах — нули. Заметим, что эта же система $e_{1}, e_{2}, \dots$ не является базисом в пространстве $R^{N}$ всех последовательностей. Действительно, например, последовательность, состоящая из одних единиц не представляется в виде (конечной) линейной комбинации последовательностей $e_{1}, e_{2}, \dots$ .

Далее все пространства мы будем предполагать конечномерными, если явно не указано противное.

1.3. Пересечение и сумма подпространств, их размерности

Предложение 1.17. Пересечение $V_{1} \cap V_{2}$ подпространств пространства $V$ также является подпространством.

Доказательство. Для любых $u, v \in V_{1} \cap V_{2}$ и $λ \in k$ сумма $u + v$ и произведение $λ v$ также лежат и в $V_{1}$ , и в $V_{2}$ , а значит и в пересечении $V_{1} \cap V_{2}$ .

В отличие от пересечения, объединение подпространств $V_{1} \cup V_{2}$ в общем случае не будет линейным подпространством.

Определение (1.18). Суммой $V_{1} + V_{2}$ подпространств $V_{1}$ и $V_{2}$ пространства $V$ называется множество всех векторов $v \in V$ , которые можно представить в виде суммы
$v = v_{1} + v_{2}$ , где $v_{1} \in V_{1}$ и $v_{2} \in V_{2}$ .

Предложение 1.19. Сумма подпространств является линейной оболочкой их объединения:

V_{1} + V_{2} = ⟨ V_{1} \cup V_{2} ⟩ .

Таким образом, $V_{1} + V_{2}$ является линейным подпространством.

Доказательство. Включение $V_{1} + V_{2} \subset ⟨ V_{1} \cup V_{2} ⟩$ следует из того, что вектор
$v_{1} + v_{2}$ является линейной комбинацией векторов $v_{1}, v_{2} \in V_{1} \cup V_{2}$ .

Докажем обратное включение $⟨ V_{1} \cup V_{2} ⟩ \subset V_{1} + V_{2}$ . Рассмотрим линейную комбинацию

v = λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n},

векторов $u_{1}, \dots, u_{n} \in V_{1} \cup V_{2}$ . Можно считать, что $u_{1}, \dots, u_{k}$ лежат в $V_{1}$ , а $u_{k + 1}, \dots, u_{n}$ лежат в $V_{2}$ . Тогда мы имеем

v = v_{1} + v_{2},

где
$v_{1} = λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{k} u_{k} \in V_{1}$ ,
$v_{2} = λ_{k + 1} u_{k + 1} + \dots + λ_{n} u_{n} \in V_{2}$ .
Следовательно, $v \in V_{1} + V_{2}$ .

Теорема (1.20). Для любых подпространств $V_{1}$ и $V_{2}$ линейного пространства $V$ имеет место равенство

dim V_{1} + dim V_{2} = dim (V_{1} + V_{2}) + dim (V_{1} \cap V_{2}) .

Доказательство. Выберем базис $e_{1}, \dots, e_{k}$ пространства $V_{1} \cap V_{2}$ . Воспользовавшись теоремой 1.15, дополним его до базиса
$e_{1}, \dots, e_{k}, f_{1}, \dots, f_{l}$ пространства $V_{1}$ и до базиса
$e_{1}, \dots, e_{k}, g_{1}, \dots, g_{m}$ пространства $V_{2}$ . Тогда мы имеем:

dim (V_{1} \cap V_{2}) = k, dim V_{1} = k + l, dim V_{2} = k + m . (2)

Докажем, что $e_{1}, \dots, e_{k}, f_{1}, \dots, f_{l}, g_{1}, \dots, g_{m}$ — базис пространства $V_{1} + V_{2}$ .

Прежде всего заметим, что так как $V_{1} + V_{2} = ⟨ V_{1} \cup V_{2} ⟩$ , любой вектор из $V_{1} + V_{2}$ линейно выражается через эту систему векторов. Остаётся проверить, что эта система линейно независима. Пусть имеет место равенство

λ_{1} e_{1} + \dots + λ_{k} e_{k} + μ_{1} f_{1} + \dots + μ_{l} f_{l} + ν_{1} g_{1} + \dots + ν_{m} g_{m} = 0. (3)

Перепишем его в виде

λ_{1} e_{1} + \dots + λ_{k} e_{k} + μ_{1} f_{1} + \dots + μ_{l} f_{l} = - ν_{1} g_{1} - \dots - ν_{m} g_{m} .

Вектор, стоящий в обеих частях этого равенства, лежит как в $V_{1}$ , так и в $V_{2}$ . Следовательно, он лежит в $V_{1} \cap V_{2}$ и линейно выражается через $e_{1}, \dots, e_{k}$ . Так как векторы $e_{1}, \dots, e_{k}, f_{1}, \dots, f_{l}$ линейно независимы по построению, мы получаем, что $μ_{1} = \dots = μ_{l} = 0$ . Аналогичным образом доказывается, что $ν_{1} = \dots = ν_{m} = 0$ . Тогда из линейной независимости $e_{1}, \dots, e_{k}$ и (3) следует, что $λ_{1} = \dots = λ_{k} = 0$ .

Итак, система $e_{1}, \dots, e_{k}, f_{1}, \dots, f_{l}, g_{1}, \dots, g_{m}$ порождает пространство $V_{1} + V_{2}$ и линейно независима. Следовательно, это — базис в $V_{1} + V_{2}$ и $dim (V_{1} + V_{2}) = k + l + m$ . Отсюда и из (2) вытекает требуемое равенство.

Определение (1.21). Сумма $V_{1} + V_{2}$ подпространств пространства $V$ называется прямой (обозначение: $V_{1} \oplus V_{2}$ ), если для любого вектора $v \in V_{1} + V_{2}$ представление
$v = v_{1} + v_{2}$ , где $v_{1} \in V_{1}$ и $v_{2} \in V_{2}$ , единственно.

Легко показывается эквивалентность следующих условий:

a) сумма $V_{1} + V_{2}$ прямая;

b) $V_{1} \cap V_{2} = {0}$ ;

c) из $v_{1} + v_{2} = 0$ , где $v_{1} \in V_{1}$ и $v_{2} \in V_{2}$ , следует $v_{1} = v_{2} = 0$ .

1.4. Координаты вектора. Закон изменения координат при замене базиса

Определение (1.22). Пусть $V$ — линейное пространство и $e_{1}, \dots, e_{n}$ — базис в $V$ . Любой вектор $x \in V$ единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} .

Числа $x_{1}, \dots, x_{n}$ называются координатами вектора $x$ в базисе $e_{1}, \dots, e_{n}$ .

При работе с матрицами координаты вектора $x$ в базисе $e_{1}, \dots, e_{n}$ мы будем записывать в виде столбца высоты $n$ , обозначая его простой (нежирной) буквой $x$ , т.е.

x = x_{1} ⋮ x_{n} .

Часто для экономии места вместо столбца будем писать строку с транспонированием:
$(x_{1} \dots x_{n})^{t}$ .

Пусть в пространстве $V$ заданы два базиса: «старый» $e_{1}, \dots, e_{n}$ и «новый» $e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ . Запишем формулы, выражающие векторы нового базиса через старый:

e_{1}^{'} e_{n}^{'} = c_{11} e_{1} + \dots + c_{1 n} e_{n}, ⋮ = c_{n 1} e_{1} + \dots + c_{nn} e_{n} .

Определение (1.23). Матрица

C = C_{e \to e^{'}} = c_{11} ⋮ c_{n 1} \dots ⋱ \dots c_{1 n} ⋮ c_{nn}

называется матрицей перехода от базиса $e_{1}, \dots, e_{n}$ к базису $e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ .
Её столбцы состоят из координат новых базисных векторов в старом базисе.

Теорема (1.24 (закон изменения координат)). Пусть $x_{1}, \dots, x_{n}$ — координаты вектора $x$ в базисе $e_{1}, \dots, e_{n}$ , а $x_{1}^{'}, \dots, x_{n}^{'}$ — координаты этого же вектора в базисе $e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ .
Тогда два набора координат связаны следующими формулами:

x_{1} x_{n} = c_{11} x_{1}^{'} + \dots + c_{1 n} x_{n}^{'}, ⋮ = c_{n 1} x_{1}^{'} + \dots + c_{nn} x_{n}^{'},

или

x_{1} ⋮ x_{n} = C x_{1}^{'} ⋮ x_{n}^{'} .

Доказательство. Мы имеем

x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} = x = x_{1}^{'} e_{1}^{'} + \dots + x_{n}^{'} e_{n}^{'} = = x_{1}^{'} (c_{11} e_{1} + \dots + c_{1 n} e_{n}) + \dots + x_{n}^{'} (c_{n 1} e_{1} + \dots + c_{nn} e_{n}) = = (c_{11} x_{1}^{'} + \dots + c_{1 n} x_{n}^{'}) e_{1} + \dots + (c_{n 1} x_{1}^{'} + \dots + c_{nn} x_{n}^{'}) e_{n} .

Так как $e_{1}, \dots, e_{n}$ — базис, мы получаем
$x_{i} = c_{i 1} x_{1}^{'} + \dots + c_{in} x_{n}^{'}$ для $i = 1, \dots, n$ .

Та же выкладка в матричных обозначениях имеет вид

(e_{1}, \dots, e_{n}) x_{1} ⋮ x_{n} = x = (e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}) x_{1}^{'} ⋮ x_{n}^{'} = (e_{1}, \dots, e_{n}) c_{11} ⋮ c_{n 1} \dots ⋱ \dots c_{1 n} ⋮ c_{nn} x_{1}^{'} ⋮ x_{n}^{'},

откуда

x_{1} ⋮ x_{n} = C x_{1}^{'} ⋮ x_{n}^{'} .

Обратим внимание, что в определении матрицы перехода мы выражаем новые векторы через старые,
а в законе преобразования координат — наоборот, старые координаты выражаются через новые.

Предложение 1.25.

a) Матрица $C_{e^{'} \to e}$ перехода от базиса $e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ к базису $e_{1}, \dots, e_{n}$ является обратной к матрице $C_{e \to e^{'}}$ перехода от $e_{1}, \dots, e_{n}$ к $e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ , т.е.

C_{e \to e^{'}} C_{e^{'} \to e} = E .

В частности, матрица перехода всегда невырождена (обратима).

b) Если $e_{1}, \dots, e_{n}$ , $e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ , $e_{1}^{''}, \dots, e_{n}^{''}$ — три базиса,
то для соответствующих матриц перехода имеет место соотношение

C_{e \to e^{''}} = C_{e \to e^{'}} C_{e^{'} \to e^{''}} .