Аффинные пространства

В геометрии на плоскости или в пространстве рассматриваются точки и векторы. Для формализации этих понятий и взаимосвязей между ними служит понятие аффинного пространства.

2.1. Определение, подпространства, системы координат

Определение (2.1). Аффинным пространством называется пара $(A, V)$ , состоящая из множества $A$ , элементы которого называются точками, и направляющего векторного пространства $V$ над полем $k$ , с дополнительной операцией сложения

+ : A \times V \to A, (P, v) \mapsto P + v,

для $P \in A$ и $v \in V$ . (Говоря неформально, к точке $P$ можно «приложить» вектор $v$ и тогда его «конец» — это точка $P + v$ .)
При этом требуется, чтобы операция сложения точек и векторов удовлетворяла следующим условиям:

$P + 0 = P$ для любой точки $P \in A$ ;
$(P + u) + v = P + (u + v)$ для любых $P \in A$ , $u, v \in V$ ;
для любых $P, Q \in A$ существует единственный вектор $v \in V$ , такой что

$P + v = Q .$

Размерностью аффинного пространства $(A, V)$ называется размерность векторного пространства $V$ .

Часто аффинным пространством называют просто множество точек $A$ из определения выше (особенно, когда из контекста понятно, какое векторное пространство $V$ имеется в виду).

Вектор $v$ , однозначно сопоставляемый паре точек $P, Q \in A$ в силу свойства 3), обозначается $P Q$ . Тогда из свойства 2) вытекает, что

P Q + QR = P R .

Замечание. Свойства 1) и 2) из определения аффинного пространства означают, что на множестве $A$ задано действие абелевой группы векторов пространства $V$ .
Свойство 3) по определению означает, что это действие свободно и транзитивно.
Множество, на котором задано свободное и транзитивное действие группы $G$ , называется главным однородным пространством группы $G$ .
Таким образом, аффинное пространство $A$ — это главное однородное пространство абелевой группы $V$ .

Пример (2.2).

Точки плоскости и (трёхмерного) пространства образуют аффинные пространства.
Заметим, что точки «не помнят» начала координат: все точки на плоскости или в пространстве равноправны, пока мы не ввели там систему координат.
Рассмотрим совместную неоднородную систему линейных уравнений $A x = b$ , где $A$ — матрица, а $x$ и $b$ — столбцы.
Пусть $A$ — множество решений $x$ этой системы, а $V$ — векторное пространство решений $y$ однородной системы $A y = 0$ .
Тогда $(A, V)$ — аффинное пространство.
Действительно, если $x \in A$ и $y \in V$ , то

$A (x + y) = A x + A y = b,$

и поэтому $x + y \in A$ .
Из всякого векторного пространства $V$ можно получить аффинное пространство $A (V)$ , взяв в качестве $A$ множество всех векторов $V$ ; при этом сложение точек и векторов — это просто сложение векторов в исходном пространстве $V$ .
Аффинное пространство, получаемое при помощи этой процедуры из $R^{n}$ , мы будем обозначать через $A^{n}$ .

Определение (2.3). Аффинной системой координат (или репером) в аффинном пространстве $(A, V)$ называется набор

O e_{1}, \dots, e_{n},

состоящий из точки $O \in A$ , называемой началом координат, и базиса $e_{1}, \dots, e_{n}$ в векторном пространстве $V$ .

Вектор

r_{P} = O P

называется радиус-вектором точки $P$ относительно системы координат с началом $O$ .

Координатами точки $P \in A$ в системе координат $O e_{1} \dots e_{n}$ называются координаты
$x_{1}, \dots, x_{n}$ её радиус-вектора $O P$ в базисе $e_{1}, \dots, e_{n}$ , т.е.

O P = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} .

Выбор аффинной системы координат позволяет отождествить аффинное пространство $(A, V)$ со стандартным аффинным пространством $A^{n}$ , в котором и точки и векторы задаются наборами из $n$ чисел, где $n = dim V$ .

Предложение 2.4 (формулы замены аффинных координат). Пусть в аффинном пространстве $(A, V)$ заданы две системы координат

O e_{1} \dots e_{n} и O^{'} e_{1}^{'} \dots e_{n}^{'} .

Тогда две пары координат точки $P \in A$ в этих системах связаны соотношениями:

x_{1} x_{n} = c_{11} x_{1}^{'} + \dots + c_{1 n} x_{n}^{'} + o_{1}, ⋮ = c_{n 1} x_{1}^{'} + \dots + c_{nn} x_{n}^{'} + o_{n},

или

x_{1} ⋮ x_{n} = C x_{1}^{'} ⋮ x_{n}^{'} + o_{1} ⋮ o_{n},

где

$C = (c_{ij}) = C_{e \leftarrow e^{'}}$ — матрица перехода от базиса $e_{1}, \dots, e_{n}$ к базису $e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ ,
$(o_{1}, \dots, o_{n})$ — координаты точки $O^{'}$ в системе $O e_{1} \dots e_{n}$ .

Доказательство. Мы имеем
$O P = O O^{'} + O^{'} P$ или $r_{P} = r_{P}^{'} + r_{O^{'}}$ , где $r_{P}$ и $r_{P}^{'}$ — радиус-векторы точки $P$ в системах координат $O e_{1} \dots e_{n}$ и $O^{'} e_{1}^{'} \dots e_{n}^{'}$ , соответственно.

Записывая координаты этих векторов в базисе $e_{1}, \dots, e_{n}$ и используя векторную формулу замены координат, получаем требуемое.

Определение (2.5). Аффинным подпространством в аффинном пространстве $(A, V)$ называется пара $(B, W)$ , состоящая из подмножества $B \subset A$ и векторного подпространства $W \subset V$ , такая, что $(B, W)$ является аффинным пространством относительно операции в $(A, V)$ .

Эквивалентно, $(B, W)$ называется аффинным подпространством в $(A, V)$ , если:

для любых $P \in B$ и $u \in W$ точка $P + u$ лежит в $B$ ;
для любых $P, Q \in B$ вектор $P Q$ лежит в $W$ .

Одномерные аффинные подпространства называются прямыми, а двумерные — плоскостями.

Аффинные подпространства $(B, W)$ в $A^{n}$ можно задавать двумя способами:

a) репером, т.е. точкой $P \in B$ и базисом $f_{1}, \dots, f_{k}$ векторного пространства $W \subset R^{n}$ .
При этом любая другая точка $P^{'} \in B$ представляется в виде

P^{'} = P + x_{1} f_{1} + \dots + x_{k} f_{k} .

Для такого способа задания используется обозначение

B = P + W = P + {t_{1} f_{1} + \dots + t_{k} f_{k}} .

б) как множество решений совместной неоднородной системы уравнений:

B = {x \in R^{n} : A x = b} .

При этом $W$ — это пространство решений однородной системы $A x = 0$ .

Первый способ обобщает параметрическое задание прямых и плоскостей.
Второй способ обобщает задание прямых и плоскостей уравнениями (см. следующий параграф).

Переход от второго способа задания подпространства к первому заключается в решении неоднородной системы $A x = b$ : точка $P$ — это частное решение, а набор
$f_{1}, \dots, f_{k}$ — это фундаментальная система решений однородной системы $A x = 0$ .

Для перехода от первого способа задания подпространства ко второму необходимо задать линейную оболочку $⟨ f_{1}, \dots, f_{k} ⟩$ однородной системой $A x = 0$ ; тогда столбец $b$ правых частей неоднородной системы $A x = b$ получается при подстановке координат точки $P$ в уравнения системы $A x = 0$ .

2.2. Прямые и плоскости в $A^{2}$ и $A^{3}$

Традиционно координаты на аффинной плоскости $A^{2}$ обозначаются $(x, y)$ , а координаты в аффинном трёхмерном пространстве $A^{3}$ обозначаются $(x, y, z)$ .

Вначале рассмотрим прямые в $A^{2}$ .

При первом способе задания прямая $ℓ \subset A^{2}$ определяется точкой
$P_{0} \in ℓ$ и ненулевым вектором $v$ из направляющего одномерного векторного подпространства. Тогда для любой точки $P \in ℓ$ имеем

P_{0} P = t v

для некоторого $t \in R$ .

Пусть точка $P_{0}$ имеет координаты $(x_{0}, y_{0})$ , а $v = (a, b)$ .
Тогда координаты $(x, y)$ произвольной точки $P \in ℓ$ удовлетворяют соотношениям

x y = x_{0} + a t, = y_{0} + b t, (4)

где $t \in R$ .

Эти соотношения называются параметрическими уравнениями прямой в $A^{2}$ . Избавляясь от параметра, эти уравнения часто записывают в виде

\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} .

При этом подразумевается, что при $a = 0$ , $b \neq = 0$ уравнение выше есть просто $x - x_{0} = 0$ , и аналогично при $b = 0$ , $a \neq = 0$ .

При втором способе задания прямая $ℓ \subset A^{2}$ задаётся одним неоднородным линейным уравнением

A x + B y + C = 0,

которое называется общим уравнением прямой в $A^{2}$ .

При этом, чтобы пространство решений однородного уравнения

A x + B y = 0

было одномерным, необходимо, чтобы хотя бы одно из чисел $A$ и $B$ было отличным от нуля.

Теперь рассмотрим плоскости в $A^{3}$ .

При первом способе задания плоскость $π \subset A^{3}$ определяется точкой
$P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in π$ и парой неколлинеарных векторов

v_{1} = (a_{1}, b_{1}, c_{1}), v_{2} = (a_{2}, b_{2}, c_{2})

из направляющего двумерного векторного подпространства.

Координаты $(x, y, z)$ произвольной точки $P \in π$ удовлетворяют соотношениям

x y z = x_{0} + a_{1} t_{1} + a_{2} t_{2}, = y_{0} + b_{1} t_{1} + b_{2} t_{2}, = z_{0} + c_{1} t_{1} + c_{2} t_{2}, (5)

Аффинные пространства

2.1. Определение, подпространства, системы координат

2.2. Прямые и плоскости в A2 и A3

2.2. Прямые и плоскости в $A^{2}$ и $A^{3}$