Евклидовы пространства

Евклидовы пространства — пространства со скалярным произведением.

3.1. Определение, примеры. Неравенство Коши–Буняковского, неравенство треугольника

Определение (3.1). Линейное пространство над полем $R$ называется евклидовым, если на парах его векторов определена функция

f : V \times V \to R

(обозначаемая $(a, b) := f (a, b)$ и называемая скалярным произведением), удовлетворяющая следующим свойствам:

билинейность, т.е.

$(λ_{1} u_{1} + λ_{2} u_{2}, v) = λ_{1} (u_{1}, v) + λ_{2} (u_{2}, v)$

и

$(u, μ_{1} v_{1} + μ_{2} v_{2}) = μ_{1} (u, v_{1}) + μ_{2} (u, v_{2})$

для любых $λ_{1}, λ_{2}, μ_{1}, μ_{2} \in R$ и
$u, u_{1}, u_{2}, v, v_{1}, v_{2} \in V$ ;
симметричность:

$(v, u) = (u, v)$

для любых $u, v \in V$ ;
положительная определённость:

$(v, v) \geq 0$

для любого $v \in V$ , причём $(v, v) = 0$ только при $v = 0$ .

Свойство билинейности выражает линейность скалярного произведения по каждому из аргументов. Ввиду наличия свойства симметричности, билинейность очевидно вытекает из линейности по любому из двух аргументов.

Определение (3.2). Линейное пространство над полем $C$ называется эрмитовым, если на парах его векторов определена функция

f : V \times V \to C

(обозначаемая $(a, b) := f (a, b)$ и называемая скалярным произведением), удовлетворяющая следующим свойствам:

полуторалинейность, т.е.

$(λ_{1} u_{1} + λ_{2} u_{2}, v) = \overline{λ_{1}} (u_{1}, v) + \overline{λ_{2}} (u_{2}, v)$

и

$(u, μ_{1} v_{1} + μ_{2} v_{2}) = μ_{1} (u, v_{1}) + μ_{2} (u, v_{2})$

для любых $λ_{1}, λ_{2}, μ_{1}, μ_{2} \in C$ и
$u, u_{1}, u_{2}, v, v_{1}, v_{2} \in V$ ;
эрмитовость: $(v, u) = \overline{(u, v)}$ для любых $u, v \in V$ ; в частности, $(v, v)$ вещественно для любого $v \in V$ ;
положительная определённость: $(v, v) \geq 0$ для любого $v \in V$ , причём $(v, v) = 0$ только при $v = 0$ .

Свойство полуторалинейности выражает линейность скалярного произведения по второму аргументу и антилинейность по первому. Ввиду наличия свойства эрмитовости, полуторалинейность очевидно вытекает из линейности по второму аргументу.

Пример (3.3).

Стандартное скалярное произведение векторов
$u = (u_{1}, \dots, u_{n})$ и $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ в пространстве $R^{n}$ определяется по формуле

$(u, v) := u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + \dots + u_{n} v_{n} . (6)$

Скалярное произведение векторов в $C^{n}$ определяется по формуле

$(u, v) := \overline{u_{1}} v_{1} + \overline{u_{2}} v_{2} + \dots + \overline{u_{n}} v_{n} . (7)$
Скалярное произведение в пространстве $Mat_{C} (n, n)$ квадратных комплексных матриц размера $n$ задаётся с помощью формулы

$(A, B) := Tr (A^{*} B) = i, j = 1 \sum n a_{ij} \overline{b_{ij}} .$

При отождествлении пространства $Mat_{C} (n, n)$ с $C^{n^{2}}$ это скалярное произведение переходит в стандартное скалярное произведение из предыдущего примера.
Рассмотрим пространство $C [a, b]$ вещественных функций, непрерывных на отрезке $[a, b]$ .
Зададим скалярное произведение функций $f$ и $g$ по формуле

$(f, g) := \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x .$

Тогда свойства 1) и 2) скалярного произведения очевидны, а 3) вытекает из того, что интеграл

$\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

от неотрицательной непрерывной функции $f^{2} (x)$ неотрицателен и обращается в нуль только при $f (x) \equiv 0$ .

Аналогично скалярное произведение в пространстве комплекснозначных функций можно определить по формуле

$(f, g) := \int_{a}^{b} \overline{f (x)} g (x) d x .$

Определение (3.4). Пусть $V$ — евклидово или эрмитово пространство. Для $v \in V$ величина $(v, v)$ называется длиной вектора $v$ и обозначается $∣ v ∣$ .

Векторы $u, v \in V$ , скалярное произведение которых равно нулю, называются перпендикулярными или ортогональными. В этом случае пишут $u ⊥ v$ .

Предложение 3.5. Пусть $u$ — ненулевой вектор евклидова или эрмитова пространства $V$ .
Тогда для любого вектора $v \in V$ существует единственное разложение $v = v_{1} + v_{2}$ , где вектор $v_{1}$ коллинеарен вектору $u$ , а вектор $v_{2}$ ортогонален $u$ .

Доказательство. Сначала докажем единственность. Пусть $v = v_{1} + v_{2}$ — такое разложение. Тогда для $λ \in R$ имеем

v_{1} = λ u, v_{2} = v - λ u .

Условие $u ⊥ v_{2}$ влечёт

0 = (u, v_{2}) = (u, v - λ u) = (u, v) - λ (u, u) .

Отсюда

λ = \frac{( u , v )}{( u , u )}

v_{1} = (\frac{( u , v )}{( u , u )}) u . (8)

Тем самым векторы $v_{1}$ и $v_{2} = v - v_{1}$ определены однозначно.

С другой стороны, определив $v_{1}$ по этой формуле, мы получим $v_{2} = v - v_{1} ⊥ u$ .

Определение (3.6). Вектор (8) называется ортогональной проекцией вектора $v$ на направление вектора $u$ и обозначается $p_{u} v$ ,
а вектор $v - p_{u} v$ называется ортогональной составляющей вектора $v$ относительно $u$ и обозначается $ort_{u} v$ .

Длина ортогональной проекции вычисляется по формуле

∣ p_{u} v ∣ = (p_{u} v, p_{u} v) = (\frac{( u , v )}{( u , u )} u, \frac{( u , v )}{( u , u )} u) = \frac{( u , v )}{( u , u )} \cdot ∣ u ∣.

Теорема (3.7 (неравенство Коши–Буняковского)). Для любых двух векторов $u, v$ евклидова или эрмитова пространства имеет место неравенство

∣ (u, v) ∣ \leq ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣.

Доказательство. Если $u = 0$ , утверждение очевидно. Пусть $u \neq = 0$ . Запишем

v = v_{1} + v_{2}, где v_{1} = p_{u} v, v_{2} = ort_{u} v .

Тогда $(v_{1}, v_{2}) = 0$ , и мы имеем

∣ v ∣^{2} = (v, v) = (v_{1} + v_{2}, v_{1} + v_{2}) = (v_{1}, v_{1}) + (v_{2}, v_{1}) + (v_{1}, v_{2}) + (v_{2}, v_{2}) = ∣ v_{1} ∣^{2} + ∣ v_{2} ∣^{2} .

Отсюда $∣ v_{1} ∣ \leq ∣ v ∣$ , причём равенство достигается только при $v_{2} = 0$ , т.е. когда вектор $v$ коллинеарен вектору $u$ . Осталось заметить, что

∣ v_{1} ∣ = ∣ p_{u} v ∣ = \frac{( u , v )}{∣ u ∣},

так что неравенство

∣ (u, v) ∣ \leq ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣

эквивалентно требуемому.

Определение (3.8). Углом между двумя ненулевыми векторами $u, v$ евклидова пространства называется величина

∠ (u, v) := arccos \frac{( u , v )}{∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣} \in [0, π] .

Неравенство Коши–Буняковского гарантирует, что угол между ненулевыми векторами всегда определён.

Следствие (3.9 (неравенство треугольника)). Для любых двух векторов $u, v$ в евклидовом или эрмитовом пространстве выполняется неравенство

∣ u + v ∣ \leq ∣ u ∣ + ∣ v ∣.

Доказательство. В обеих частях неравенства стоят неотрицательные величины, поэтому при возведении в квадрат получается равносильное неравенство

(u + v, u + v) \leq (u, u) + (v, v) + 2∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣.

После раскрытия скобок в левой части и сокращения подобных членов мы получаем следующее неравенство:

(u, v) + (v, u) \leq 2∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣,

которое следует из неравенства Коши–Буняковского.

3.2. Ортогональные системы векторов, ортонормированные базисы. Ортогонализация Грама–Шмидта

Предложение 3.10. Пусть $v_{1}, \dots, v_{k}$ — набор попарно ортогональных ненулевых векторов.
Тогда эти векторы линейно независимы.

Доказательство. Пусть некоторая линейная комбинация данных векторов равна нулю:

i = 1 \sum k λ_{i} v_{i} = 0.

Умножим обе части этого равенства скалярно на $v_{j}$ и воспользуемся линейностью скалярного произведения по второму аргументу:

0 = (v_{j}, i = 1 \sum k λ_{i} v_{i}) = i = 1 \sum k λ_{i} (v_{j}, v_{i}) = λ_{j} (v_{j}, v_{j}),

так как по условию остальные слагаемые в этой сумме равны нулю. Поскольку по условию $v_{j} \neq = 0$ , из положительной определённости скалярного произведения следует, что $(v_{j}, v_{j}) \neq = 0$ , а значит, $λ_{j} = 0$ .

Это выполнено для любого $j = 1, \dots, k$ , следовательно, линейная комбинация $\sum_{i = 1}^{k} λ_{i} v_{i}$ тривиальна.