Лекция 7. Линейные отображения.

7.1. Умножение матриц.

Пусть $U, V, W$ — векторные пространства над полем $k$ размерностей $m, n, k$ соответственно и $A : U \to V, B : V \to W$ — линейные отображения.
Выберем базисы $(u_{1}, \dots, u_{m}), (v_{1}, \dots, v_{n}), (w_{1}, \dots, w_{k})$ пространств $U, V, W$ и матрицы операторов

A = a_{11} ⋮ a_{n 1} \dots ⋱ \dots a_{1 m} ⋮ a_{nm}, B = b_{11} ⋮ b_{k 1} \dots ⋱ \dots b_{1 n} ⋮ b_{k n}

в этих базисах. Тогда $C = B \circ A : U \to W$ и его матрица в базисах $(u_{1}, \dots, u_{m}), (w_{1}, \dots, w_{k})$ имеет вид:

C = c_{11} ⋮ c_{k 1} \dots ⋱ \dots c_{1 m} ⋮ c_{k m},

где $c_{ij} = \sum_{t = 1}^{n} b_{i t} a_{t j}$ . Действительно,

B \circ A (u_{j}) = B (k = 1 \sum n a_{k j} v_{k}) = t = 1 \sum n a_{t j} B v_{t} = t = 1 \sum n a_{t j} i = 1 \sum k b_{i t} w_{i} = i = 1 \sum k (t = 1 \sum n b_{i t} a_{t j}) w_{i} .

Таким образом мы можем определить умножение матриц $B A := C$ . В частности, если $U = V = W$ , то $(Hom (V, V), +, \circ)$ — ассоциативное кольцо с единицей. Выбор базиса задаёт изоморфизм

Hom (V, V) = M_{n} (k)

и тем самым $(M_{n} (k), +, \times)$ — это ассоциативное кольцо с единицей.

7.2. Матрица линейного отображения.

Предложение 7.1. Пусть $A : U \to V$ — линейное отображение. Тогда существуют такие базисы пространств $U, V$ , что матрица оператора $A$ в этих базисах имеет вид

(E_{k} 0 00),

где $E_{k}$ — единичная $k \times k$ матрица.

Доказательство. Пусть $(u_{1}, \dots, u_{k})$ — это базис $ker A$ и $(u_{1}, \dots, u_{k}, u_{k + 1}, \dots, u_{n})$ — базис $U$ . Тогда $f (u_{k + 1}), \dots, f (u_{n})$ — это базис $Im A$ . Пусть $(f (u_{k + 1}), \dots, f (u_{n}), v_{1}, \dots, v_{s})$ — базис $V$ . Тогда матрица оператора $A$ в базисах $(u_{1}, \dots, u_{n})$ и $(f (u_{k + 1}), \dots, f (u_{n}), v_{1}, \dots, v_{s})$ имеет требуемый вид. $□$

Следствие 7.2. Пусть $A : U \to V$ — линейное отображение. Тогда $dim ker A + dim Im A = dim U$ .

Определение 7.3. Пусть $A : U \to V$ — линейное отображение. Тогда ранг $rk A$ это $dim Im A$ .

Следствие 7.4. Пусть $A : V \to V$ — линейный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) $A$ — изоморфизм;
(2) $ker A = 0$ ;
(3) $Im A = V$ .

Доказательство. ( $1 \Rightarrow 2$ ) Если $v \in ker A$ , то для любого $u \in U$ имеем $f (u + v) = f (u)$ , что противоречит тому, что $A$ — изоморфизм.
( $2 \Leftrightarrow 3$ ) Следует из следствия 7.2.
( $3 \Rightarrow 1$ ) Ясно, что $A$ — сюръекция. Если не инъекция, то существуют $u, v \in V$ , $u \neq = v$ , такие что $A (u) = A (v)$ . Но тогда $u - v \in ker A$ , что противоречит (2). $□$

Как найти обратный оператор?

Предположим что в некотором базисе матрица оператора имеет вид $A$ . Запишем матрицу $n \times 2 n$

(A ∣ E)

и приведём её методом Гаусса к строго верхнетреугольному виду. Тогда, либо получим матрицу

(E ∣ C)

и в этом случае $A^{- 1} = C$ , либо $A$ — необратима. Действительно, преобразования метода Гаусса — это умножения слева на матрицы следующего вида:

Вычесть из одного уравнения другое умноженное на число — $E + λ E_{ij}$ .
Переставить уравнения — $E - E_{ii} - E_{j j} + E_{ij} + E_{j i}$ .
Умножить уравнение на ненулевое число — $diag (1, \dots, 1, λ, \dots, 1)$ .

Здесь $E_{ij}$ — матрица из нулей и единиц с единицей на $ij$ -ом месте.

Заметим, что все матрицы из метода Гаусса — невырожденные. Это означает, что если у нас в итоге получилась вырожденная матрица, то и исходная была вырожденная. Иначе получим, что

(E ∣ A_{1} \dots A_{n})

причём $A_{1} \dots A_{n} = E$ , то есть справа стоит обратная матрица.

7.3. Системы линейных уравнений.

Любая система линейных уравнений имеет вид $A x = b$ , где $x \in k^{n}$ , $y \in k^{m}$ , $A : k^{n} \to k^{m}$ — линейный оператор. При приведении матрицы $A$ методом Гаусса $rk A$ не меняется. При этом в строго верхнетреугольном виде $rk A$ равен количеству ненулевых столбцов. Отсюда, из равенства

dim ker A + dim Im A = n

следует, что число свободных переменных определено однозначно и равно размерности ядра $A$ .

Предложение 7.5. Система линейных уравнений имеет решение тогда и только тогда когда $rk A$ равен $rk (A ∣ b)$ .

Доказательство. Если решение существует, то $b \in ⟨ a_{1}, \dots, a_{n} ⟩$ , где $a_{i}$ — столбцы матрицы $A$ . Остаётся заметить, что $rk A = dim ⟨ a_{1}, \dots, a_{n} ⟩$ . $□$

7.4. Сумма и пересечение подпространств.

Определим

U \cap V = {w ∣ w \in U, w \in V}, U + V = {u + v ∣ u \in U, v \in V} .

Ясно, что $U + V$ и $U \cap V$ сами являются векторными пространствами.

Предложение 7.6. $dim (U + V) = dim U + dim V - dim (U \cap V)$ .

Доказательство. Выберем базис $U \cap V$ : $w_{1}, \dots, w_{k}$ , затем дополним его до базиса $U$ векторами $u_{k + 1}, \dots, u_{l}$ и до базиса $V$ векторами $v_{l + 1}, \dots, v_{s}$ . Ясно, что набор

w_{1}, \dots, w_{k}, u_{k + 1}, \dots, u_{l}, v_{l + 1}, \dots, v_{s}

порождает $U + V$ и в нём $dim U + dim V - dim (U \cap V)$ элементов. Докажем, что он является базисом. Пусть

λ_{1} w_{1} + \dots + λ_{k} w_{k} + λ_{k + 1} u_{k + 1} + \dots + λ_{l} u_{l} + λ_{l + 1} v_{l + 1} + \dots + λ_{s} v_{s} = 0.

Тогда

λ_{1} w_{1} + \dots + λ_{k} w_{k} + λ_{k + 1} u_{k + 1} + \dots + λ_{l} u_{l} = λ_{l + 1} v_{l + 1} + \dots + λ_{s} v_{s} .

При этом правая часть лежит в $V$ , а левая в $U$ , значит, в пересечении. Отсюда $λ_{l + 1} = \dots = λ_{s} = 0$ . А отсюда и все остальные коэффициенты нулевые. $□$

Определение 7.7. Прямая сумма векторных пространств $U$ и $V$ — это векторное пространство

U \oplus V = {(u, v) ∣ u \in U, v \in V}

с покомпонентными операциями сложения и умножения на скаляр.

Аналогично определяется прямая сумма $U_{1} \oplus \dots \oplus U_{n}$ .

Предложение 7.8. Пусть $V, W \subset U$ такие подпространства, что

$V \cap W = 0$ ;
$V + W = U$ . Тогда $U ≃ V \oplus W$ .

Доказательство. Из свойств следует, что любой вектор из $U$ единственным образом представляется в виде суммы $u = v + w$ . Тогда отображение

V \oplus W \to U, (v, w) \mapsto v + w

— изоморфизм. $□$

Предложение 7.9. Пусть $U_{1}, \dots, U_{n} \subset U$ такие подпространства, что

$U_{i} \cap \sum_{j \neq = i} U_{j} = 0$ ;
$\sum_{i} U_{i} = U$ . Тогда $U ≃ ⨁_{i = 1}^{n} U_{i}$ .

Доказательство. Аналогично случаю двух подпространств. $□$

В случае бесконечного числа подпространств существует два различных понятия: прямая сумма и прямое произведение. Прямая сумма состоит из наборов, в которых только конечное число векторов ненулевое, в то время как в прямом произведении набор векторов может быть произвольным. Например, прямая сумма счётного набора векторных пространств изоморфна $k [x]$ , а прямое произведение $k [[x]]$ .

7.5. Алгоритм нахождения базиса суммы и пересечения подпространств.

Если заданы пространства $U = ⟨ u_{1}, \dots, u_{n} ⟩$ и $V = ⟨ v_{1}, \dots, v_{k} ⟩$ , то легко найти базис их суммы: нужно выписать все эти векторы в матрицу и привести её методом Гаусса к верхнетреугольному виду. Тогда строки с единицами будут базисом суммы.

Чтобы найти базис пересечения запишем матрицу вида $2 n \times n$ такого вида:

U V 0 и приведём методом Гаусса к верхнетреугольному виду — получим матрицу вида U 0 V A * B,

где в $A$ стоит базис $U + V$ . Тогда в $B$ получаем базис $U \cap V$ . Почему?

Обозначим через

H = (U, U) + (V, 0)

подпространство в $k^{n} \oplus k^{n}$ и рассмотрим проекцию $π_{1} : H \to k^{n}$ на первую координату. Тогда $Im π_{1} = U + V$ , $ker π_{1} = (0, U \cap V)$ . Значит,

dim (U + V) + dim (U \cap V) = dim H .

В матрицах $A$ и $B$ стоит базис $H$ , причём в $A$ — базис $U + V$ . При этом вектора из $B$ лежат в ядре, линейно независимы и их количество равно размерности $U \cap V$ . Значит в $B$ стоит базис пересечения.

7.6. Двойственное пространство.

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $k$ .

Определение 7.10. Пространство $Hom (V, k)$ называется двойственным пространством и обозначается через $V^{*}$ .
Элементы $V^{*}$ — линейные функционалы. Если зафиксировать базис $E$ пространства $V$ , то получим биекцию

{функционалы} ⟷ {произвольные функции E \to k} .

Следствие 7.11. Если $dim V = \infty$ , то $dim V^{*} > dim V$ .

В случае $dim V = n$ и базиса ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ определим функционалы $e_{i}^{*}$ :

e_{i}^{*} (e_{j}) = {1, i = j 0, i \neq = j

образуют базис $V^{*}$ , в частности, $dim V = dim V^{*}$ . Отметим при этом, что не существует никакого способа задать изоморфизм $V$ и $V^{*}$ , не выбирая базис, то есть изоморфизм в этом случае не является каноническим.

Пример 7.12. $k [x]^{*} ≃ k [[x]]$ как векторные пространства: выберем базис $1, x, x^{2}, \dots$ в $k [x]$ и каждому $f \in k [[x]]$ сопоставим ряд $\sum_{i = 0}^{\infty} f_{i} x^{i}$ . При этом изоморфизм функционал $e v_{a} : k [x] \to k$ , $f \mapsto f (a)$ переходит в геометрическую прогрессию

\frac{1}{1 - a x} .

Предложение 7.13. Отображение

π : V \to V^{**}, v \mapsto (F : f \mapsto f (v))

— изоморфизм векторных пространств.

Доказательство. Пусть $e_{1}, \dots, e_{n}$ — базис $V$ . Тогда

π (e_{i}) (e_{j}^{*}) = {1, i = j, 0, i \neq = j,

то есть $π (e_{i}) = e_{i}^{**}$ , а значит $π$ переводит базис в базис, то есть является изоморфизмом. $□$

В частности, если $dim V < \infty$ , то $V ≃ V^{**}$ канонически.