Лекция 5. Идеалы, теорема о гомоморфизмах, евклидовы и…

5.1. Идеалы и фактор-кольца.

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с единицей.

Определение 5.1. Идеал $I \subset R$ — это такое подкольцо в $R$ , что $a \cdot b \in I$ ∀ $a \in R$ , $b \in I$ .

Ясно, что идеал задаёт отношение эквивалентности на $R$ , а значит и разбиение кольца $R$ на классы эквивалентности. Обозначим множество классов эквивалентности через $R / I$ , а класс $x \in R$ будем обозначать через $[x]$ .

Пример 5.2. $I = n Z \subset Z$ — идеал. Классы эквивалентности выглядят так:

{\dots, - n, 0, n, \dots}

{\dots, - n + 1, 1, n + 1, \dots}

$\dots$

{\dots, - 1, n - 1, 2 n - 1, \dots}

Предложение 5.3. $R / I$ — коммутативное кольцо с единицей:

[x] + [y] := [x + y]

[x] \cdot [y] := [x y]

Доказательство.
Если $[x_{1}] = [x_{2}]$ и $[y_{1}] = [y_{2}]$ , то $x_{1} = x_{2} + i_{1}$ , $y_{1} = y_{2} + i_{2}$ и

[x_{1}] + [y_{1}] = [x_{2} + y_{2} + i_{1} + i_{2}] = [x_{2} + y_{2}] = [x_{2}] + [y_{2}]

[x_{1}] [y_{1}] = [x_{2} y_{2} + i_{1} y_{2} + i_{2} y_{1} + i_{1} i_{2}] = [x_{2} y_{2}] = [x_{2}] [y_{2}]

∎

Пример 5.4.
Пусть $f \in R [x]$ . Тогда $(f) = {f g ∣ g \in k [x]}$ — идеал и определено кольцо $R [x] / (f)$ . В случае $R = k$ это кольцо изоморфно кольцу остатков по модулю $f$ .

5.2. Теорема о гомоморфизме.

Предложение 5.5. Пусть $φ : R \to S$ — гомоморфизм колец. Тогда

$Im φ$ — подкольцо в $S$ ;
$ker φ$ — идеал в $R$ ;
$R / ker φ ≃ Im φ$ .

Доказательство.

(1) Если $y_{1} = f (x_{1})$ и $y_{2} = f (x_{2})$ , то $y_{1} + y_{2} = f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ и $y_{1} y_{2} = f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{1} x_{2})$ .

(2) Если $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0$ , то $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ .
Если $f (x_{1}) = 0$ и $r \in R_{1}$ , то $f (r x_{1}) = f (r) f (x_{1}) = 0$ .

(3) Определим отображение

f : R / ker φ \to Im φ, [x] \mapsto f (x)

Это отображение корректно определено: если $[x_{1}] = [x_{2}]$ , то $x_{1} = x_{2} + r$ , где $r \in ker φ$ . Тогда $f (x_{2}) = f (x_{1} + r) = f (x_{1}) + f (r) = f (x_{1})$ .

Является гомоморфизмом:

f ([x_{1}] + [x_{2}]) = f ([x_{1} + x_{2}]) = f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2}) = f ([x_{1}]) + f ([x_{2}]) .

Аналогично для умножения.

Является биекцией: если $f ([x_{1}]) = 0$ , то $x_{1} \in ker φ$ , а значит $[x_{1}] = 0$ в $R / ker φ$ .

Если $y \in Im φ$ , то существует $x \in R_{1}$ такой, что $f (x) = y$ , а значит $f ([x]) = y$ .

Примеры.

Пусть $L \supset k$ , $α \in L$ поля и $m_{α} (x) \in k [x]$ — минимальный многочлен элемента $α$ . Рассмотрим отображение
$f : k [x] \to L, f (x) \mapsto f (α)$ .
Ясно, что $Im f = {f (α) ∣ f \in k [x]} = k [α] \subset L$ . Более того, $f$ — гомоморфизм. Тогда

k [α] ≅ k [x] / (m_{α} (x)) .

В частности, $k [α]$ — поле, так как $m_{α} (x)$ неприводим.

Рассмотрим отображение $f : Z \to Z [i] / (1 + 3 i), n \mapsto [n]$ . Ясно, что $f$ — гомоморфизм.
Более того, $1 - 3 i = (1 + 3 i)$ , значит, отображение $f$ сюръективно.
При этом $N (1 + 3 i) = 10$ , а значит если $n = 0$ , то $n = (1 + 3 i) (a + bi)$ и $a^{2} + b^{2} = 1$ , а значит $n = 10 k$ , $k \in Z$ .
Отсюда $Z / (10) ≅ Z [i] / (1 + 3 i)$ .

5.3. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов.

Цель данного раздела — формализовать понятия деления с остатком и выделить основное свойство, которое использовалось для доказательства факториальности.

Определение 5.6.
Евклидово кольцо — это область целостности $R$ , в которой задана функция
$N : R ∖ {0} \to Z_{\geq 0}$ такая, что для любых $a, b \in R$ существуют $q, r \in R$ такие, что

a = b q + r, N (r) < N (b) или r = 0.

Примеры евклидовых колец: это $Z$ , $k [x]$ , $Z [i]$ . Пусть $R$ — кольцо и $M \subset R$ — произвольное множество элементов.

Определение 5.7.
Идеал, порождённый множеством $M$ , — это

⟨ M ⟩ = {a_{1} r_{1} + \dots + a_{n} r_{n} ∣ r_{i} \in R, a_{i} \in M} .

Определение 5.8.
Идеал $I \subset R$ называется конечно-порожденным, если существует конечное $M \subset R$ такое, что $I = ⟨ M ⟩$ .

Определение 5.9.
Кольцо называется нетёровым, если любой идеал в этом кольце конечно-порожден.

Предложение 5.10.
Нетёровость эквивалентна условию, что не существует бесконечно-возрастающей цепочки идеалов.

Доказательство.
Легко видеть, что объединение произвольного семейства идеалов является идеалом. Это означает, что нетёровость кольца влечёт невозможность бесконечной возрастающей цепочки: иначе сможем построить идеал, который не может быть порождён конечным числом элементов.
Обратно, если в кольце нет бесконечно-возрастающих цепочек, то сможем в любом идеале выбрать конечный порождающий набор. ∎

Примеры.

Любое евклидово кольцо нетёрово (см. ниже).
$k [x_{1}, \dots, x_{n}, \dots]$ — кольцо многочленов от бесконечного числа переменных — не является нетёровым.
Кольцо $C ([0, 1])$ непрерывных вещественных функций на отрезке $[0, 1]$ не является нетёровым (упражнение).

Заметим, что в контексте разложения на неприводимые элементы условие нетёровости гарантирует существование разложения на неприводимые множители.
Действительно, иначе получили бы бесконечную цепочку возрастающих идеалов.

Теорема Гильберта о базисе утверждает, что кольцо многочленов над нетёровым кольцом является нетёровым.

Определение 5.11.
Идеал $I \subset R$ называется главным, если $I = ⟨ r ⟩ = (r)$ для некоторого $r \in R$ .

В терминах этих понятий легко формализовать понятия неприводимого и простого элемента области целостности.

Определение 5.12.
Элемент $a \in R$ неприводим, если идеал $(a)$ является максимальным идеалом среди собственных главных.

Определение 5.13.
Элемент $p \in R$ является простым, если $R / (p)$ — область целостности.

Определение 5.14.
Идеал $I \subset R$ называется простым, если $R / I$ — область целостности.

Определение 5.15.
Идеал $I \subset R$ называется максимальным, если $R / I$ — поле.

Предложение 5.16.
Максимальный идеал является максимальным собственным идеалом в теоретико-множественном смысле.

Доказательство.
(⇒) Пусть $R / I$ — поле. Докажем, что $⟨ I, x ⟩ = R$ для любого $x \in R$ , отсюда будет следовать максимальность $I$ .
Действительно, существует $y \in R$ такое, что $[x] \cdot [y] = [1]$ . Это означает, что существует $i \in I$ такой, что $x y = 1 + i$ . Тогда $1 \in ⟨ I, x ⟩$ , а значит, $⟨ I, x ⟩ = R$ .

(⇐) Пусть $I$ — максимальный. Тогда для любого $x \in R$ имеем $⟨ x, I ⟩ = R$ , а значит существуют $y \in R$ и $i \in I$ такие, что $x y + i = 1$ , откуда $[x]^{- 1} = [y]$ . ∎

Несложно видеть, что корректность определения НОД в евклидовом кольце $R$ связана с тем, что для любых $a, b$ идеал $(a, b)$ порождён одним элементом.

Предложение 5.17.
Евклидово кольцо является областью главных идеалов.

Доказательство.
Пусть $R$ — евклидово и $I \subset R$ — идеал. Пусть $x \in I$ — элемент минимальной нормы. Тогда $I = (x)$ .
Действительно, если существует $y \in I$ , $y \in / (x)$ , то $y = d q + r$ , причём $N (r) < N (d)$ и $r \in I$ — противоречие.

Более того, можно обобщить определение НОД на кольца главных идеалов, а именно, $НОД (f, g) = d$ , если $(f, g) = (d)$ .
Ясно, что НОД определён однозначно с точностью до умножения на обратимый элемент кольца.
Далее, факториальность кольца эквивалентна лемме Бехцинга, из которой следует тот факт, что простота = неприводимость в $R$ .

Предложение 5.18. В кольце главных идеалов простота неприводимый элемент прост.

Доказательство.
$a$ — неприводим
$\Rightarrow$ $(a)$ — максимальный среди главных
$\Rightarrow$ $(a)$ — максимальный
$\Rightarrow$ $R / (a)$ — поле
$\Rightarrow$ $R / (a)$ — область целостности
$\Rightarrow$ $a$ — простой. ∎

Следствие 5.19.
Кольцо главных идеалов факториально.

Подытожим вышесказанное, имеется следующая картинка:

{евклидовы кольца} \subset {области главных идеалов} \subset {факториальные кольца} .

Все включения тут являются нестрогими: для первого — это, например, кольцо $R [x, y] / (x^{2} + y^{2} + 1)$ . Для второго — $Z [x]$ .

5.4. Простые идеалы и системы полиномиальных уравнений

Пусть $k$ — поле, и рассмотрим систему полиномиальных уравнений

f_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \dots = f_{k} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0.

Определим $R = k [x_{1}, \dots, x_{n}] / (f_{1}, \dots, f_{n})$ .
Оказывается, имеется биекция между решениями системы и множеством простых идеалов кольца $R$ .

Для того чтобы придать этому строгий смысл, потребуется дать несколько определений.
Пусть $L \supset k$ и имеется решение $α_{1}, \dots, α_{n} \in L$ . Тогда определён гомоморфизм $f : R \to L$ :
мы будем $f ([x_{i}]) \mapsto f (α_{1}, \dots, α_{n})$ .
Отметим, что образ этого гомоморфизма — область целостности, а значит, ядро — простой идеал.
С другой стороны, любой гомоморфизм $f : R \to L$ задаёт решение системы: образы $[x_{i}]$ .

Лекция 5. Идеалы, теорема о гомоморфизмах, евклидовы и факториальные кольца.

5.1. Идеалы и фактор-кольца.

5.2. Теорема о гомоморфизме.

5.3. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов.

5.4. Простые идеалы и системы полиномиальных уравнений