Алгебра 1. Лекция 3. Конечные поля и гауссовы числа

3.1. Конечные поля.

Теорема 3.1.

Если $F$ — конечное поле, то $∣ F ∣ = p^{n}$ , где $p$ — простое, $n \geq 1$ .
Существует поле $F_{p^{n}}$ порядка $p^{n}$ для любого простого $p$ и $n \geq 1$ .
Любые два поля порядка $p^{n}$ изоморфны.

Доказательство.

Предложение 3.2. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая.

Доказательство. Пусть $G$ — конечная подгруппа $k^{\times}$ , а $n$ — максимальный порядок элемента в $G$ . Покажем, что порядок любого элемента делит $n$ . Отсюда будет следовать, что в $= ∣ G ∣$ , так как уравнение $x^{n} - 1 = 0$ имеет в поле не более $n$ корней.

Лемма 3.3. Пусть $x, y \in G$ и $∣ x ∣ = a, ∣ y ∣ = b$ . Тогда в $G$ существует элемент порядка $НОК (a, b)$ .

Доказательство.

Предположим, что $НОД (a, b) = 1$ . Тогда $НОК (a, b) = ab$ и такой порядок имеет элемент $x y$ . Действительно, $(x y)^{ab} = (x^{a})^{b} \cdot (y^{b})^{a} = 1$ . Если $(x y)^{k} = 1$ , причем $k < n$ , то получим, что $x^{r} = y^{s}$ для некоторых $r < a, s < b$ . Но тогда $1 = y^{a s}$ , причем $a s$ не делится на $b$ , откуда $y^{c} = 1$ , для некоторого $c < b$ , что приводит к противоречию.
В общем случае пусть $d = НОД (a, b)$ . Тогда существуют числа $a_{1}, a_{2}, l_{1}, l_{2} \in Z$ , такие что $a = l_{1} a_{1}, b = l_{2} b_{1}, НОД (l_{1}, l_{2}) = 1, НОК (a, b) = l_{1} l_{2}$ . Для этого отправим в $b$ все простые множители, которые входят в $a$ в большей степени, чем в $b$ . Тогда элементы $x^{a_{1}}$ и $y^{a_{2}}$ имеют взаимнопростые порядки $l_{1}, l_{2}$ , а их произведение порождает $НОК (a, b)$ .

Из леммы следует предложение: если элемент имеет порядок $n$ , не делящий $n$ , то приводит к противоречию.

Заметим, что для поля характеристики $p$ есть каноническое вложение поля $F_{p}$ в $F$ (простое подполе). Предложение показывает, что в конечном поле корректно определено следующее понятие:

Определение 3.4. (Минимальный многочлен элемента). Минимальный многочлен $f \in F_{p} [x]$ элемента $α \in F$ — это неприводимый приведённый многочлен минимальной степени такой, что $f (α) = 0$ .

Чтобы доказать пункт 1) теоремы заметим, что $F_{p} [α] = {f (α) ∣ f \in F_{p} [x]}$ является подполем $F$ . Действительно, оно замкнуто относительно сложения и умножения по определению. С другой стороны, достаточно

F_{p} [α] = {r (α) ∣ r - произвольныйостатокприделениина m_{α} (x)} .

Отсюда следует, что любой элемент обратим (воспользуемся линейным представлением НОД). Иными словами, $F_{p} [α] ≃ F_{p} [x] / (m_{α} (x))$ . Так как $F_{p} [α]$ содержит ровно $p^{n}$ элементов, то совпадает с $F$ .

Существование.

Предложение 3.5. Пусть $f \in k [x]$ — многочлен. Тогда существует $k \subset F$ такое, что в $F$ многочлен $f$ раскладывается на линейные множители.

Доказательство. Пусть $f$ имеет в $k$ корней и пусть $g$ — неприводимый фактор $f$ . Тогда в поле $k [x] / (g)$ многочлен $f$ имеет один корень больше. Продолжая, получим поле требуемое.

Продолжим построение поля $F_{p^{n}}$ как подполе поля $k$ разложением многочлена $x^{p^{n}} - x \in F_{p} [x]$ , а именно, мы утверждаем, что все его корни образуют поле. Действительно, если $x, y$ — корни, то

(x + y)^{p^{n}} = ((x + y)^{p})^{p^{n - 1}} = (x^{p} + y^{p})^{p^{n - 1}} = \dots = x^{p^{n}} + y^{p^{n}} = (x y)^{p^{n}} = x y .

Если $x \neq = 0$ корень, то $x^{p^{n} - 1} = 1$ , а значит, элемент $x$ обратим. Все остальные свойства поля следуют из того, что множество корней является подполем в $k$ . Осталось доказать, что корней ровно $p^{n}$ , это следует из следующей леммы.

Лемма 3.6. Многочлен $f \in k [x]$ не имеет кратных корней тогда и только тогда когда $НОД (f, f^{'}) = 1$ . Здесь $f^{'}$ — (формальная) производная $f$ .

Для доказательства единственности мы построим изоморфизм между любыми двумя полями $F_{1}$ и $F_{2}$ порядка $p^{n}$ . Для этого выберем $ξ$ — первообразный корень в $F_{1}$ и пусть $m_{ξ} (x) \in F_{p} [x]$ — минимальный многочлен. В $F_{1} [x]$ и $F_{2} [x]$ раскладывается на линейные множители (так как делит $x^{p^{n}} - x$ ). Более того, все его корни — первообразные. Действительно, пусть $a$ — корень $m_{ξ} (x)$ и $a -$ не является первообразным. Тогда существует $m_{a} (x) \in F_{p} [x]$ — минимальный многочлен элемента $a$ , причем $m_{a} (x) ∣ m_{ξ} (x)$ . Но $m_{ξ} (x)$ неприводим. Пусть $ξ_{1}$ — корень $m_{ξ} (x)$ в $F_{2}$ . Мы утверждаем, что отображение $ψ : F_{1} \to F_{2}, ξ^{k} \mapsto ξ_{1}^{k}, 0 \mapsto 0$ — изоморфизм полей. Очевидно, что $ψ$ — биекция, сохраняющая умножение. Пусть $ξ + ξ_{1} = ξ^{k}$ . Нужно доказать, что $ξ^{i} + ξ_{1}^{j} = ξ_{1}^{k}$ . Заметим, что $m_{ξ} (x) ∣ x^{i} + x^{j} - x^{k}$ , откуда получаем требуемое.

Если $ξ^{i} + ξ^{j} = 0$ , и $char F_{1} = 2$ , то $ξ^{i} = ξ^{j}$ и получаем требуемое. Если $char F_{1} \neq = 2$ , то $ξ^{j} - ξ^{i} = - 1$ , а значит $i - j = \frac{p ^{n} - 1}{2}$ и $ξ_{1}^{j} = - 1$ , что и требовалось доказать.

3.2. Гауссовы числа.

Определение 3.7. Гауссовы числа — это $Z [i] = {a + bi ∣ a, b \in R} \subset C$ .

Так как гауссовы числа — подкольцо в $C$ , то они являются областью целостности.

Определение 3.8. Нормой Гауссова числа $z = a + bi$ называется целое положительное число $N (z) = z z = a^{2} + b^{2}$ .

Предложение 3.9. Для любых $z_{1}, z_{2} \in Z [i]$ существуют $q, r$ такие, что $z_{1} = q z_{2} + r, N (r) < N (z_{2})$ .

Доказательство. В качестве неполного частного можно взять ближайшую к $z_{1}$ точку в решётке кратных $z_{2}$ .

Ясно, что $Z [i]^{\times} = {\pm 1, \pm i}$ .

Определение 3.10. Наибольшим общим делителем чисел $a, b \in Z [i]$ называется $d \in Z [i]$ такой, что:

$d$ общий делитель $a, b$ ;
$d$ обладает наибольшей нормой среди всех общих делителей.

Предложение 3.11. НОД определён корректно.

Доказательство. Аналогично кольцу многочленов.

Отсюда следует, что в $Z [i]$ есть алгоритм Евклида, линейное представление НОД, лемма Евклида и основная теорема арифметики.

Теорема 3.12. Кольцо $Z [i]$ факториально.

3.3. Простые Гауссовы числа.

Теорема 3.13. Гауссово число $z = a + bi$ простое, тогда и только тогда когда выполнено одно из следующих условий

$z$ ассоциировано с $p = 4 k + 3$ ;
$N (a + bi) = p$ , где $p = 4 k + 1$ или $p = 2$ — простое.

Доказательство.

Лемма 3.14. Уравнение $x^{2} = - 1$ разрешимо в $F_{p}$ тогда и только тогда когда $p = 2$ или $p = 4 k + 1$ .

Доказательство. Пусть $\exists a \in F_{p}, p \neq = 2$ такой, что $a^{2} = - 1$ . Тогда $a^{4} = 1$ . Так как $F_{p}^{x}$ циклическая, то это $4∣ p - 1$ . Обратно, если $4∣ p - 1$ то в циклической группе существует элемент порядка 4.

Пусть $p = 4 k + 1$ . Тогда $\exists a \in Z$ такой, что $p ∣ x^{2} + 1 = (x - i) (x + i)$ . Но тогда $p = \pm 1$ .
Пусть $p = 4 k + 3$ , не простое, тогда $p = (a + bi) q = p = (a - bi) q$ . Значит $p = (a + bi) (a - bi) = (a - bi) q$ , где $c = \pm 1$ . Тогда $p^{2} = a^{2} + b^{2}$ , но у суммы квадратов не может быть остаток 3 по модулю 4.
Если $N (a + bi) = p$ , то $a + bi$ — простое, так как норма 1 только у обратимых элементов.
Пусть $a, b \neq = 0$ и $N (a + bi) = n_{1} \cdot n_{2} = (a + bi) (a - bi)$ , где $n_{1}, n_{2} \in Z$ . Если $a + bi$ простое, то $a - bi$ — тоже, а значит получаем два различных разложения на простые множители, что противоречит факториальности.

Отсюда получаем, что простые числа вида $4 k + 1$ представимы в виде суммы двух квадратов целых чисел, а вида $4 k + 3$ — нет. Действительно, если $p = 4 k + 1$ , то $p = (a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$ . Если $p = 4 k + 3$ , то очевидно не представимо. Более того, если $a, b$ представимы в виде суммы двух квадратов, то $ab$ — тоже, так как для комплексных чисел $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$ .

Следствие 3.15. Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов если в разложение на простые множители простые числа вида $p = 4 k + 3$ входят в чётных степенях.

Верно и обратно, но здесь мы это не доказываем (задача в листочке).