Алгебра 1. Лекция 2. Многочлены и конечные поля

2.1. Гомоморфизмы колец

Определение 2.1. Гомоморфизм колец $f : R_{1} \to R_{2}$ — это отображение, сохраняющее операции:

f (x + y) = f (x) + f (y) f (x y) = f (x) f (y) \forall x, y \in R_{1}

Если кольца $R_{1}$ и $R_{2}$ содержат единицу, обычно дополнительно требуют, чтобы $f (1) = 1$ .

Определение 2.2. Изоморфизм колец — это биективный гомоморфизм.

Определение 2.3. Ядро гомоморфизма $ker f = {x \in R_{1} ∣ f (x) = 0}$ .

Определение 2.4. Образ гомоморфизма $Im f = {y \in R_{1} ∣ \exists x \in R_{1}, f (x) = y}$ .

Несложно видеть, что ядро и образ — подкольца в $R_{1}$ и $R_{2}$ соответственно. Ядро связано с инъективностью следующим образом:

Предложение 2.5. Гомоморфизм $f$ инъективен тогда и только тогда, когда $ker f = {0}$ .

2.2. Характеристика поля

Пусть $k$ — произвольное поле. Как мы видим по примеру $Z / p Z$ , в поле может существовать такое $n \geq 0$ , что

n раз 1 + 1 + \dots + 1 = 0.

Такое число $n$ называется характеристикой поля и обозначается через $char k$ . Если такого $n$ не существует, тогда говорят, что $char k = 0$ .

Предложение 2.6. Характеристика поля либо ноль, либо простое число.

Доказательство. Пусть $char k = n = ab, a, b > 1$ . Тогда

0 = n (1 + \dots + 1) = (a (1 + \dots + 1)) b (1 + \dots + 1) .

При этом оба множителя ненулевые, но в поле нет делителей нуля. □

Почему говорят, что $char k = 0$ в случае, когда это не простое число? Заметим, что для любого поля существует канонический гомоморфизм полей:

f : Z \to k, 1 \mapsto 1

По вышесказанному, $ker f = p Z$ или $ker f = 0 Z = 0$ .

2.3. Прямое произведение колец

Пусть $R_{1}, R_{2}$ — кольца.

Определение 2.7. Множество $R_{1} \times R_{2} = {(x, y) ∣ x \in R_{1}, y \in R_{2}}$ с покомпонентными операциями

(x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) := (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})

(x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) := (x_{1} x_{2}, y_{1} y_{2})

называется прямым произведением колец.

В случае счётного бесконечного числа множеств есть два определения: можно считать, что мы рассматриваем все элементы вида $(a_{1}, a_{2}, \dots)$ , а можно считать, что начиная с некоторого номера $a_{i} = 0$ . В первом случае получаем прямое, а во втором декартово произведение.

2.4. Китайская теорема об остатках

Пусть $n = n_{1} \dots n_{k}$ , и все $n_{i}$ попарно взаимно просты.

Теорема 2.8. $Z / n Z ≃ Z / n_{1} Z \times \dots \times Z / n_{k} Z$ .

Доказательство. Рассмотрим отображение

f : [m] \mapsto ([m]_{n_{1}}, \dots, [m]_{n_{k}}) .

Тогда $ker f = 0$ (если $n_{1} mi d m, l d o t s, n_{k} mi d m$ , то и $n mi d m$ , так как все $n_{i}$ попарно взаимно просты), значит $f$ инъективно. С другой стороны $∣ Z / n Z ∣ = ∣ Z / n_{1} Z \times \dots \times Z / n_{k} Z ∣$ . □

2.5. Кольцо многочленов

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с единицей. Тогда определим кольцо многочленов с коэффициентами в $R$ следующим образом:

R [x] = {a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} ∣ n \in Z_{\geq 0}, a_{i} \in R} .

Легко видеть, что $R [x]$ — коммутативное кольцо с единицей (и не ноль). Ниже мы будем по умолчанию рассматривать кольца многочленов с коэффициентами в произвольном поле $k$ . Однако

Примеры. Если $R = k\[y\]$ , то $R\[x\] = (k\[x\])\[y\] = k\[x, y\]$ — кольцо многочленов от двух переменных.

Факториально ли кольцо многочленов с коэффициентами в поле? Оказывается, что да. Причина та же самая, что и для целых чисел.

Определение 2.9. Пусть $f (x) = a_{0} + a_{1} x + c d o t s + a_{n} x^{n}, a_{n} n e q 0$ . Тогда степень многочлена $de g f = n$ .

Ясно, что $de g (f g) = de g f \cdot de g g$ .

Предложение 2.10. (Деление с остатком) Для любых $f, g \in k [x]$ существуют единственные $q, r \in k [x]$ такие, что

f = g q + r, de g r < de g g .

Следствие 2.11. (Теорема Безу) (1) Пусть $f \\in k\[x\]$ и $c ink$ такое, что $f (c) = 0$ . Тогда $x - c mi df (x)$ . (2) В поле многочлен степени $n$ имеет не более $n$ различных корней.

Доказательство. 1) $f = (x - c) q + r$ причём $de g r = 0$ . Более того, $f (c) = 0 = r$ . 2) Если $c$ — корень, то $f (x) = (x - c) g (x)$ , $de g g = n - 1$ . □

Определение 2.12. Пусть $f, g \\in k\[x\]$ . Говорят, что $d \\in k\[x\]$ — наибольший общий делитель (НОД) если:

Старший коэффициент равен 1;
$d mi df, d mi d g$ ;
$d$ — максимальной степени со свойством (2).

Предложение 2.13. Наибольший общий делитель определён корректно.

Доказательство. Рассмотрим множество $I = { fa + gb \\mid a, b \\in k\[x\] }$ . Пусть $D in I$ — многочлен минимальной степени. Тогда $I = { D \\cdot c \\mid c \\in k\[x\] }$ (иначе остаток от деления на $D$ лежит в $I$ и имеет меньшую степень). Тогда $НОД (f, g)$ делит $D$ . С другой стороны, $D$ — общий делитель $f, g$ . Значит, $de g d = de g D$ , откуда следует, что $d = D c d o t l amb d a, l amb d a in k^{t im es}$ . □

Предложение 2.14. (Алгоритм Евклида и линейное представление НОД) (1) $НОД (f - g, g)$ ; (2) Для любых $f, g \\in k\[x\]$ существуют $x, y \\in k\[x\]$ $НОД (f, g) = f x + g y$ .

Следствие 2.15. Кольцо $k\[x\]$ факториально.

2.6. Вычеты по модулю многочлена

Если $f \\in k\[x\]$ , то можно рассмотреть множество $k\[x\]/(f)$ — множество остатков при делении на $f$ .

Предложение 2.16. Класс $[g]$ обратим тогда и только тогда, когда $НОД (f, g) = 1$ .

Доказательство. Аналогично доказательству для целых чисел. □

Следствие 2.17. $k\[x\]/(f)$ — поле тогда и только тогда, когда $f$ — неприводим.

Примеры.

Многочлен $x^{2} + 1$ неприводим в $R [x]$ . Поле $C := R [x] / (x^{2} + 1)$ называется полем комплексных чисел.
Многочлен $x^{2} - 2$ неприводим в $Q [x]$ , получаем поле $Q [x] / (x^{2} - 2)$ . Несложно показать, что оно изоморфно подполю $Q (2) \subset R$ , состоящему из чисел вида $a + b s q r t 2, a, b in ma t hbb Q$ .
Многочлен $x^{2} + x + 1$ неприводим в $F_{2} [x]$ , получаем поле из четырёх элементов $F_{4} := F_{2} [x] / (x^{2} + x + 1)$ .
Если $f$ — неприводимый многочлен степени $n$ из $F_{p} [x]$ , то $F_{p} [x] / (f)$ — поле из $p^{n}$ элементов.

Заметим, что если бы мы знали, что существует неприводимый многочлен степени $n$ , то построили бы конечное поле из $p^{n}$ элементов.