Алгебра 1, Лекция 1. Алексей Ильин (2025)

1.1. Алгебраические структуры

Алгебра изучает алгебраические структуры.

Определение 1.1 Алгебраическая структура — это множество с набором операций.
Под n-арной операцией понимается отображение

Обычно рассматриваем бинарные операции

Примеры

1. Числа: натуральные $$\begin{gathered} mathbbN=1,2,3, \\ dots \end{gathered}$$, целые $mathbbZ$, рациональные $mathbbQ$, действительные $mathbbR$ — алгебраические структуры относительно сложения $+$ и умножения $\cdot$.
   Мы не даём определение действительных чисел и не определяем операции — это обычно делается в математическом анализе. Рациональные числа определим позже.

2. Векторы на плоскости и в пространстве образуют алгебраическую структуру относительно сложения.

3. Множества отображений

   $$Map(M,M)=\{f:M\to M\},$$

   а также множество биекций

   $$S(M)=\{f\in Map(M,M)\mid f\text{ — биекция}\},$$

   образуют алгебраическую структуру относительно композиции.

4. Множество отображений

   $$Map(M,\mathbb{R})=\{f:M\to \mathbb{R}\}$$

   образует алгебраическую структуру относительно поточечного сложения и умножения.

Более точно, алгебра изучает алгебраические структуры с точностью до изоморфизма.

Определение 1.2 Алгебраические структуры $(M,\ast )$ и $$\begin{gathered} (N, \\ cdot) \end{gathered}$$ изоморфны, $$\begin{gathered} (M,\ast ) \\ simeq(N, \\ cdot) \end{gathered}$$, если существует биективное отображение

такое, что $$\begin{gathered} f(x\text{*}y)=f(x) \\ cdotf(y) \end{gathered}$$ для любых $$\begin{gathered} x,y \\ inM \end{gathered}$$.

Примеры

1. (\\mathbb{R},+) \\simeq (\\mathbb{R}\_{>0},\\cdot) посредством отображения

   $$f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{>0},x\mapsto 2^x.$$

2. Множество векторов на плоскости (или в пространстве) с операцией сложения изоморфно множеству параллельных переносов относительно композиции: вектору сопоставляется параллельный перенос вдоль этого вектора.

1.2. Группы, кольца, поля

Изучать произвольные алгебраические структуры без ограничений бессмысленно. Числовые алгебраические структуры обладают набором свойств; аксиоматизируя их, приходим к понятиям группы, кольца и поля.

Пусть $X$ — множество с операциями $+$ и $\cdot$. Предположим выполняются аксиомы:

1. $$\begin{gathered} foralla,b,c \\ inX: \\ a+(b+c)=(a+b)+c \end{gathered}$$ — ассоциативность сложения.
2. $$\begin{gathered} exists0 \\ inX: \\ a+0=0+a=a \end{gathered}$$ — нейтральный элемент для сложения.
3. $$\begin{gathered} foralla \\ inX \\ existsb \\ inX: \\ a+b=b+a=0 \end{gathered}$$ — обратимый по сложению.
4. $$\begin{gathered} foralla,b \\ inX: \\ a+b=b+a \end{gathered}$$ — коммутативность сложения.
5. $$\begin{gathered} foralla,b,c \\ inX: \\ a \\ cdot(b \\ cdotc)=(a \\ cdotb) \\ cdotc \end{gathered}$$ — ассоциативность умножения.
6. $$\begin{gathered} existse \\ inX: \\ a \\ cdote=e \\ cdota=a \end{gathered}$$ — нейтральный элемент для умножения.
7. $$\begin{gathered} foralla \\ inX \\ existsb \\ inX: \\ a \\ cdotb=b \\ cdota=e \end{gathered}$$ — обратимый по умножению.
8. $$\begin{gathered} foralla,b \\ inX: \\ a \\ cdotb=b \\ cdota \end{gathered}$$ — коммутативность умножения.
9. $$\begin{gathered} foralla,b,c \\ inX: \\ a \\ cdot(b+c)=a \\ cdotb+a \\ cdotc \end{gathered}$$ — левая дистрибутивность.
10. $$\begin{gathered} foralla,b,c \\ inX: \\ (b+c) \\ cdota=b \\ cdota+c \\ cdota \end{gathered}$$ — правая дистрибутивность.
11. $$\begin{gathered} 0 \\ neqe \end{gathered}$$.
12. $$\begin{gathered} foralla,b,c \\ inX: \\ a \\ cdot(b+c)=a \\ cdotb+a \\ cdotc \end{gathered}$$ — левая дистрибутивность.
13. $$\begin{gathered} foralla,b,c \\ inX: \\ (a+b) \\ cdotc=a \\ cdotc+b \\ cdotc \end{gathered}$$ — правая дистрибутивность.

Определение 1.3. Множество $(X,+)$ с бинарной операцией $+$, удовлетворяющей аксиомам 1)–3), называется группой. Это аддитивная нотация. Обычно группу задают мультипликативно:

1. $$\begin{gathered} foralla,b,c \\ inX: \\ a \\ cdot(b \\ cdotc)=(a \\ cdotb) \\ cdotc \end{gathered}$$;
2. $$\begin{gathered} existse \\ inX: \\ a \\ cdote=e \\ cdota=a \end{gathered}$$;
3. $$\begin{gathered} foralla \\ inX \\ existsb \\ inX: \\ a \\ cdotb=b \\ cdota=e \end{gathered}$$.

Определение 1.4. Множество $(X,+)$ с бинарной операцией $+$, удовлетворяющей аксиомам 1)–4), называется абелевой группой.

Определение 1.5. Множество $$\begin{gathered} (X,+, \\ cdot) \end{gathered}$$ с бинарными операциями $+$ и $\cdot$, удовлетворяющими аксиомам 1)–4), 9)–10), называется кольцом.

Определение 1.6. Множество $$\begin{gathered} (X,+, \\ cdot) \end{gathered}$$ с бинарными операциями $+$ и $\cdot$, удовлетворяющими аксиомам 1)–4), 9)–10), называется кольцом. $Контекстподсказывает:неассоциативное.$

Определение 1.7. Множество $$\begin{gathered} (X,+, \\ cdot) \end{gathered}$$ с бинарными операциями $+$ и $\cdot$, удовлетворяющими аксиомам 1)–5), 9)–10), называется ассоциативным кольцом.
По умолчанию далее кольца считаются ассоциативными.

Определение 1.8. Множество $$\begin{gathered} (X,+, \\ cdot) \end{gathered}$$ с бинарными операциями $+$ и $\cdot$, удовлетворяющими аксиомам 1)–6), 9)–10), называется (ассоциативным) кольцом с единицей.

Определение 1.9. Множество $$\begin{gathered} (X,+, \\ cdot) \end{gathered}$$ с бинарными операциями $+$ и $\cdot$, удовлетворяющими аксиомам 1)–7), 9)–10), называется (ассоциативным) коммутативным кольцом с единицей.

Определение 1.10. Множество $$\begin{gathered} (X,+, \\ cdot) \end{gathered}$$ с бинарными операциями $+$ и $\cdot$, удовлетворяющими аксиомам 1)–10), называется полем.
Иными словами, поле — это множество с двумя бинарными операциями так, что $(X,+)$ и $$\begin{gathered} (X \\ setminus0, \\ cdot) \end{gathered}$$ — абелевы группы, и выполнена дистрибутивность.

Примеры

1. Группы: $$\begin{gathered} ( \\ mathbbZ,+), \\ ( \\ mathbbQ,+), \\ ( \\ mathbbQ \\ setminus0, \\ cdot), \\ ( \\ mathbbR,+), \\ ( \\ mathbbR \\ setminus0, \\ cdot), \end{gathered}$$ множество векторов с $+$, $$\begin{gathered} (S(M), \\ circ), \\ (Map(M, \\ mathbbR),+), \\ (R^{ \\ times}, \\ cdot) \end{gathered}$$, где $R$ — произвольное кольцо с единицей, $R^{\times }$ — группа обратимых элементов.
2. Абелевы группы: все выше, кроме $$\begin{gathered} (S(M), \\ circ) \end{gathered}$$.
3. Кольца: $$\begin{gathered} ( \\ mathbbZ,+, \\ cdot), \\ ( \\ mathbbQ,+, \\ cdot), \\ ( \\ mathbbR,+, \\ cdot), \\ (Map(M, \\ mathbbR),+, \\ cdot) \end{gathered}$$. Во всех примерах кольца ассоциативны, коммутативны и с единицей.
4. Поля: $$\begin{gathered} ( \\ mathbbQ,+, \\ cdot), \\ ( \\ mathbbR,+, \\ cdot), \\ ( \\ mathbbC,+, \\ cdot) \end{gathered}$$.

1.3. Целые числа

Какие вопросы можно задавать о кольцах? Один из естественных: как устроены его элементы? Напомним, натуральное число называется простым, если оно

1. не равно единице;
2. делится только на себя и на единицу.
   Чуть менее известно определение простого целого числа. Напомним, что $$\begin{gathered} mathbb{Z}^{ \\ times}=1,-1 \end{gathered}$$.

Определение 1.11. Элемент $$\begin{gathered} n \\ in \\ mathbbZ \end{gathered}$$ называется простым, если:

1. $n$ не обратим;
2. если $n=ab$, то либо $$\begin{gathered} a \\ in \\ mathbb{Z}^{ \\ times} \end{gathered}$$, либо $$\begin{gathered} b \\ in \\ mathbb{Z}^{ \\ times} \end{gathered}$$.

Теорема и леммы

Теорема 1.12. (Основная теорема арифметики) Любое целое необратимое число единственным образом представляется в виде произведения простых чисел. Точнее, если $n\in \mathbb{Z}$ и $n=p_1\cdots p_k=q_1\cdots q_s$, где все $p_i,q_i$ — простые, то: 1) $k=s$; 2) с точностью до перестановки $p_i=\pm q_i$.

Доказательство. Существование разложения очевидно: если число $n>1$ не простое, то поделим его на какой‑то делитель $1<a<n$: $n=ab$ и продолжим процедуру с числами $a$ и $b$. Так как каждый раз числа уменьшаются, процесс не может быть бесконечным. Единственность следует из следующего утверждения.

Лемма 1.13. (Лемма Евклида) Пусть $p$ — простое, $a,b$ — целые и $p\mid ab$. Тогда $p\mid a$ или $p\mid b$.

Действительно, если $n=p_1\cdots p_k=q_1\cdots q_s$, то из леммы Евклида следует, что $p_1$ делит некоторый $q_i$, а значит, $p_1=\pm q_i$. Поделив на $p_1$ оба выражения, получим два различных разложения на простые множители двух меньших чисел и по предположению индукции получаем доказательство теоремы. □
Лемму Евклида мы докажем в следующем разделе.

1.4. Деление с остатком

Для доказательства леммы Евклида понадобится деление с остатком.

Предложение 1.14. (Деление с остатком) Для любых $a,b\in \mathbb{Z}$ существуют единственные $q,r\in \mathbb{Z}$ такие, что $a=bq+r$, $0\le r<|b|$.

Определение 1.15. Наибольшим общим делителем чисел $a,b\in \mathbb{Z}$ называется $d\in \mathbb{Z}$ такой, что: 1) $d$ — общий делитель $a,b$; 2) $d$ — наибольший среди всех общих делителей.

Для нахождения НОД двух чисел существует алгоритм Евклида, который базируется на следующем наблюдении.

Лемма 1.16. $\mathrm{НОД}(a,b)=\mathrm{НОД}(a-b,b)$.

Алгоритм следующий:

Последний ненулевой остаток $r_n=\mathrm{НОД}(a,b)$. Набор равенств выше позволяет выразить $\mathrm{НОД}(a,b)$ через $a,b$.

Предложение 1.17. (Линейное представление НОД) Для любых $a,b\in \mathbb{Z}$ существуют $x,y\in \mathbb{Z}$ такие, что $ax+by=\mathrm{НОД}(a,b)$.

Доказательство леммы Евклида. Пусть $p\nmid a$. Тогда $\mathrm{НОД}(a,p)=1$. Значит, существуют $x,y\in \mathbb{Z}$ такие, что $ax+py=1$. Домножая на $b$, получаем $abx+pby=b$, откуда следует, что $p\mid b$. □

1.5. Факториальные кольца

Попробуем обобщить основную теорему арифметики на произвольное коммутативное кольцо с единицей $R$. Обозначим через $R^{\times }$ обратимые элементы кольца $R$.

Определение 1.18. Элемент $a\in R\setminus \{0\}$ называется делителем нуля, если существует $b\in R\setminus \{0\}$ такой, что $ab=0$.

Определение 1.19. Коммутативное кольцо с единицей называется областью целостности, если в нём нет делителей нуля. Примеры: $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$. Не пример: $Map(M,\mathbb{R})$. Далее считаем $R$ областью целостности. Следующее определение — аналог простоты целого числа.

Определение 1.20 (Неприводимый элемент). Элемент $n\in R$ называется неприводимым, если: 1) $n$ необратим; 2) если $n=ab$, то либо $a\in R^{\times }$, либо $b\in R^{\times }$. Почему рассматриваем область целостности? Пусть $R=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Тогда это кольцо не содержит неприводимых элементов.

Определение 1.21. Элемент $p\in R$ — простой, если: 1) $p\ne 0$ и $p$ необратим; 2) из того, что $p\mid ab$ следует, что $p\mid a$ или $p\mid b$. Ясно, что любой простой элемент неприводим. Пусть $p$ простой и $p=ab$, $a,b$ — необратимы. Пусть $p\mid a$. Тогда $p=qfb$, то есть $p(1-qb)=0$, а значит $b$ обратим. Обратное верно не всегда.

Упражнение. В кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]=\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ элемент $2$ неприводим, но не прост.

Определение 1.22. Элементы $a,b\in R$ называются ассоциированными, если существует обратимый $q\in R$ такой, что $a=qb$.

Лемма Евклида означает, что в кольце $\mathbb{Z}$ любой неприводимый элемент прост. Кольцо называется факториальным, если в нём верна основная теорема арифметики.

Определение 1.23. Пусть $R$ — область целостности. Говорят, что $R$ факториально, если любой ненулевой необратимый элемент единственным образом представляется в виде произведения неприводимых. Точнее, если $n\in R$ и $n=p_1\cdots p_k=q_1\cdots q_s$, где все $p_i,q_i$ — неприводимые, то: 1) $k=s$; 2) с точностью до перестановки $p_i$ ассоциировано с $q_i$.

Дословное повторение доказательства основной теоремы арифметики даёт следующее утверждение.

Предложение 1.24. Пусть в коммутативном кольце с единицей любой элемент представляется в виде произведения конечного числа неприводимых элементов. Тогда кольцо факториально тогда и только тогда, когда любой неприводимый элемент прост.

Упражнение. Кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]=\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ не факториально.

1.6. Кольца и поля вычетов

Деление с остатком даёт новые примеры колец и полей. Пусть $n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$. Обозначим

— множество остатков при делении на $n$. Для любого $a\in \mathbb{Z}$ через $[a]$ обозначим класс остатка $a$ по модулю $n$. На $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ определим операции

Тогда $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\cdot )$ — коммутативное кольцо с единицей.

Предложение 1.25. Элемент $[a]\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ обратим тогда и только тогда, когда $\mathrm{НОД}(a,n)=1$.

Доказательство. (⇐) Если $\mathrm{НОД}(a,n)=1$, то существуют $x,y\in \mathbb{Z}$ такие, что $ax+ny=1$, откуда $[a{]}^{-1}=[x]$. (⇒) Если $\mathrm{НОД}(a,n)=d>1$, то $n=qd,a=sd$. Тогда $aq=sdq=ns=0$, и $a$ — делитель нуля; делитель нуля не может быть обратим.

Следствие 1.26. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ — конечное поле.

Это поле обладает полезными свойствами.

Предложение 1.27. Пусть $a,b\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Тогда

1. $(a+b{)}^p=a^p+b^p$;
2. если $a\ne 0$, то $a^{p-1}=[1]$.

Доказательство. 1) $(a+b{)}^p=a^p+(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{1})a^{p-1}b+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{p-1})a{b}^{p-1}+b^p$, но $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)$ делится на $p$ при $0<k<p$. 2) По (1) получаем

и для $a\ne 0$ из поля: умножая на $a^{-1}$, получаем $a^{p-1}=1$.