讲座

Зачем нужны гомологии — фундаментальная группа как функтор, гомотопические группы, бордизмы и их комбинаторная аппроксимация; цепные комплексы и их гомологии; абстрактные симплициальные комплексы, геометрическая реализация и триангуляции; комплекс симплициальных цепей, доказательство $d^2 = 0$, симплициальные гомологии отрезка, двух точек и границы треугольника; приведённые гомологии.

Конечные геометрии — платоновы тела. Напоминание — правое действие, орбита, стабилизатор, фундаментальная область (исправленное определение) и пример $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}$ на плоскости; формула $|G| = |\operatorname{Orb}(x)| \cdot |\operatorname{Stab}(x)|$ и 48 симметрий куба; правильные многогранники — определение по Сосинскому и через флаги, звёздчатый контрпример; пять платоновых тел; правильные многогранники в $\mathbb{R}^4$ (шесть) и в $\mathbb{R}^n$ при $n \ge 5$ (куб, симплекс, гипероктаэдр) с координатами вершин; почему их не больше пяти — плоские углы и символ Шлефли; однозначность склейки и теорема о жёсткости; формула Эйлера; конечные подгруппы $SO(3)$ — $\mathbb{Z}_n$, $D_n$ и группы вращений тетраэдра, куба, икосаэдра; двойственность куб–октаэдр, икосаэдр–додекаэдр; какие фигуры на сфере реализуют $\mathbb{Z}_n$, $D_n$ и $\mathbb{Z}_2$.

Какие бывают геометрии и что у них общего — Эрлангенская программа Клейна; школьный треугольник 3–4–5 и эллипсоид; куб и кирпич как конечные геометрии; метрическое пространство; группа, кванторы в аксиомах; группа биекций и порядок композиции; левое и правое действие группы на множестве; метрики $d_1$, $d_2$, $d_\infty$ на $\mathbb{R}^n$; изометрии, подгруппы; порядок элемента; орбита, стабилизатор, транзитивное действие; список геометрий курса — евклидова плоскость, правильный треугольник и $S_3$, куб и его 48 симметрий, модель Пуанкаре плоскости Лобачевского; фундаментальная область; подгеометрия — квадрат в кубе.

Порядок элемента и порядок группы, порядок подстановки как НОК длин циклов; порождающие и циклические группы; гомоморфизмы и изоморфизмы групп, классификация циклических групп; примеры — знак подстановки, обращение в абелевой группе, экспонента, определитель, $S_3$ и $D_3$; подгруппы, ядро и образ, критерий инъективности; левые и правые классы смежности, их разбиение; нормальные подгруппы и сопряжение, индекс, теорема Лагранжа, подгруппы индекса 2; факторгруппа; теорема о гомоморфизме с примерами; сопряжённые элементы, центр, действие группы на множестве.

Что изучает алгебра — алгебраические структуры. Группы (определение, примеры, аддитивная запись, единственность нейтрального и обратного), кольца (варианты аксиоматики, кольца с единицей и без), поля и тела, векторные пространства и модули, алгебры над полем. Симметрическая группа $S_n$ — подстановки, некоммутативность, табличная запись, циклы и транспозиции, разложение в произведение транспозиций, независимые подстановки коммутируют, разложение в произведение независимых циклов и его единственность, возведение в степень, инверсии, чётность и знак подстановки, умножение на транспозицию меняет знак.