Фёдор Попеленский

Конечные геометрии — платоновы тела. Напоминание — правое действие, орбита, стабилизатор, фундаментальная область (исправленное определение) и пример $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}$ на плоскости; формула $|G| = |\operatorname{Orb}(x)| \cdot |\operatorname{Stab}(x)|$ и 48 симметрий куба; правильные многогранники — определение по Сосинскому и через флаги, звёздчатый контрпример; пять платоновых тел; правильные многогранники в $\mathbb{R}^4$ (шесть) и в $\mathbb{R}^n$ при $n \ge 5$ (куб, симплекс, гипероктаэдр) с координатами вершин; почему их не больше пяти — плоские углы и символ Шлефли; однозначность склейки и теорема о жёсткости; формула Эйлера; конечные подгруппы $SO(3)$ — $\mathbb{Z}_n$, $D_n$ и группы вращений тетраэдра, куба, икосаэдра; двойственность куб–октаэдр, икосаэдр–додекаэдр; какие фигуры на сфере реализуют $\mathbb{Z}_n$, $D_n$ и $\mathbb{Z}_2$.

Какие бывают геометрии и что у них общего — Эрлангенская программа Клейна; школьный треугольник 3–4–5 и эллипсоид; куб и кирпич как конечные геометрии; метрическое пространство; группа, кванторы в аксиомах; группа биекций и порядок композиции; левое и правое действие группы на множестве; метрики $d_1$, $d_2$, $d_\infty$ на $\mathbb{R}^n$; изометрии, подгруппы; порядок элемента; орбита, стабилизатор, транзитивное действие; список геометрий курса — евклидова плоскость, правильный треугольник и $S_3$, куб и его 48 симметрий, модель Пуанкаре плоскости Лобачевского; фундаментальная область; подгеометрия — квадрат в кубе.